Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°14)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Suites (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On admet que la suite $(u_n)$ est croissante.

  a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\le 6$.

  b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. On définit la suite $(v_n)$ par, pour tout entier naturel $n$, $$v_n=u_n-6.$$

  a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.

  b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=6-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

  c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Le résultat est-il cohérent avec la question 2. ?

4. On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $6-u_n\le 10^{-3}$.

  a) Résoudre cette inéquation d'inconnue l'entier $n$.

  b) Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous, écrit en langage Python, afin qu'il renvoie le plus petit entier $n$ tel que $6-u_n\le 10^{-3}$.

def seuil():
    u = 2
    n = 0
    while ........... :
        u = 0.5 * u + 3
        n = n + 1
    return n

Exercice 2 — Calcul intégral (7 points)

Pour tout entier naturel $n$, on pose $$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x.$$

1. Calculer $I_0$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $$I_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=1.$$

3. Soit $n$ un entier naturel. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer la relation de récurrence $$I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n.$$

4. En déduire la valeur exacte de $I_2$.

5. On s'intéresse au comportement de la suite $(I_n)$.

  a) Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $I_n\ge 0$.

  b) Démontrer que, pour tout réel $x\in [0;1]$ et tout entier naturel $n$, $$0\le x^n{\mathrm{e}}^x\le \mathrm{e}{x}^n.$$

  c) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$0\le I_n\le \frac{\mathrm{e}}{n+1}.$$

  d) Déterminer la limite de la suite $(I_n)$.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (6 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $$A(1;0;2),B(3;2;0),C(2;-1;1)\text{et}D(4;1;5).$$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2.

  a) Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}$ normal au plan $(ABC)$.

  b) En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{n}$, le vecteur normal au plan $(ABC)$ déterminé à la question 2. a).

  a) Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

  b) Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(ABC)$ sont sécants, et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $H$.

4. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.