Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°13)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Dérivation et convexité (8 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x^2-3){\mathrm{e}}^x.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. (On rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{\mathrm{e}}^x=0$ pour tout entier $n$.) Quelle conséquence graphique peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

3.

  a) Montrer que, pour tout réel $x$, $$f^{\prime }(x)=(x^2+2x-3){\mathrm{e}}^x.$$

  b) Vérifier que $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$, puis étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.

  c) Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$ (limites comprises). On précisera les valeurs exactes des extrema locaux.

4.

  a) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

  b) Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$ ; préciser les coordonnées de ce point.

5. On s'intéresse à la convexité de $f$.

  a) Montrer que, pour tout réel $x$, $$f^{\prime \prime }(x)=(x^2+4x-1){\mathrm{e}}^x.$$

  b) Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$. (On déterminera les valeurs exactes des racines de $x^2+4x-1$.)

  c) En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$, ainsi que les abscisses des points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

Exercice 2 — Calcul intégral (6 points)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=x{\mathrm{e}}^x.$$ On note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

1. Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $[0;2]$.

2. Soit $\mathcal{A}$ l'aire, en cm${}^2$, du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. On a donc $$\mathcal{A}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x.$$ À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $$\mathcal{A}={\mathrm{e}}^2+1.$$

3. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.

4. On rappelle que la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;2]$ est définie par $$\mu =\frac{1}{2-0}\underset{0}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x.$$ Déterminer la valeur exacte de $\mu$, puis en donner une valeur approchée au centième.

5. On considère la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$. Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$, et retrouver ainsi le résultat de la question 2.

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles (6 points)

Une usine d'assemblage reçoit des pièces identiques provenant de deux fournisseurs $A$ et $B$. Le fournisseur $A$ livre $60\%$ des pièces et le fournisseur $B$ livre les $40\%$ restants. On sait de plus que :

• parmi les pièces livrées par $A$, $3\%$ sont défectueuses ;
• parmi les pièces livrées par $B$, $5\%$ sont défectueuses.

On prélève au hasard une pièce dans le stock. On note :
$A$ l'évènement « la pièce provient du fournisseur $A$ »,
$B$ l'évènement « la pièce provient du fournisseur $B$ »,
$D$ l'évènement « la pièce est défectueuse ».

1. Recopier et compléter un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité $P(A\cap D)$ que la pièce provienne de $A$ et soit défectueuse.

3. Démontrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $$P(D)=0,038.$$

4. La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $A$ ? On arrondira le résultat au millième.

5. Les évènements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier.

6. Un client commande $5$ pièces, prélevées au hasard et de façon indépendante dans le stock. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses parmi ces $5$ pièces. Déterminer la loi suivie par $Y$ (en précisant ses paramètres), puis calculer la probabilité $P(Y\ge 1)$ qu'au moins une pièce soit défectueuse. Arrondir au millième.