Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°12)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Étude d'une fonction avec logarithme et exponentielle (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $$f(x)=2\ln x-x+3.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $0$ (par valeurs supérieures). Interpréter graphiquement le résultat.

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. (On pourra factoriser $f(x)$ par $x$.)

3.

  a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x>0$ et montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{2-x}{x}$.

  b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.

  c) En déduire que, pour tout réel $x>0$, $f(x)\le 2\ln 2+1$.

4.

  a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\infty [$, notées $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha <\beta$.

  b) Donner un encadrement de $\alpha$ et un encadrement de $\beta$, chacun d'amplitude $10^{-1}$.

5. On s'intéresse à la convexité de $f$.

  a) Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ pour tout réel $x>0$.

  b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$. La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle un point d'inflexion ?

6. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $$g(x)={\mathrm{e}}^{f(x)}={\mathrm{e}}^{2\ln x-x+3}.$$

  a) Démontrer que, pour tout réel $x>0$, $g(x)=x^2{\mathrm{e}}^{3-x}$.

  b) En déduire, sans nouveau calcul de dérivée, le tableau de variations de $g$ et la valeur de son maximum sur $]0;+\infty [$.

Exercice 2 — Calcul intégral, aire et volume (7 points)

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$h(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}.$$ On note ${\mathcal{C}}_h$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, d'unité $1$ cm.

Partie A — Calcul d'une aire

1. Justifier que $h(x)\ge 0$ pour tout $x\in [0;1]$.

2. Soit $\mathcal{A}$ l'aire, en cm${}^2$, du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_h$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. On a donc $$\mathcal{A}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x.$$ À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $$\mathcal{A}=1-\frac{2}{\mathrm{e}}.$$

3. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.

Partie B — Calcul d'un volume

On fait tourner la portion de courbe ${\mathcal{C}}_h$ pour $x\in [0;1]$ autour de l'axe des abscisses. On admet que le volume $V$, exprimé en cm${}^3$, du solide de révolution ainsi engendré est donné par $$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}(h(x){)}^2\mathrm{d}x=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x.$$

1. En effectuant deux intégrations par parties successives, démontrer que $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\left(1-\frac{5}{{\mathrm{e}}^2}\right).$$

2. En déduire l'expression exacte du volume $V$, puis en donner une valeur approchée au centième (en cm${}^3$).

Exercice 3 — Variable aléatoire et loi binomiale (6 points)

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Un fournisseur affirme que $85\%$ de sa production est conforme. Pour contrôler cette affirmation, on prélève au hasard un échantillon de $20$ composants dans un très grand stock (le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise). On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants conformes parmi les $20$ prélevés.

Partie A

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de $X$. On arrondira l'écart-type au centième.

3. Calculer la probabilité $P(X=20)$ que les $20$ composants prélevés soient tous conformes. Arrondir au millième.

4. Calculer la probabilité $P(X\ge 18)$. Arrondir au millième.

5. Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X\ge k)\le 0,5$. Interpréter ce résultat.

Partie B — Prise de décision

On souhaite tester l'affirmation du fournisseur. On décide de la règle suivante : « si le nombre de composants conformes dans l'échantillon est inférieur ou égal à un seuil $c$, on rejette l'affirmation du fournisseur ; sinon on l'accepte ». On veut que la probabilité de rejeter à tort l'affirmation du fournisseur (alors qu'elle est vraie) soit inférieure à $5\%$.

1. Calculer $P(X\le 14)$ et $P(X\le 13)$. Arrondir au millième.

2. En déduire la plus grande valeur du seuil $c$ qui convient.

3. Lors du contrôle, l'entreprise compte $12$ composants conformes dans l'échantillon. Que peut-on décider concernant l'affirmation du fournisseur ?