Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°11)

Durée : 4 heures. L'usage de la calculatrice est autorisé. La qualité de la rédaction et le soin apporté à la présentation entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Suites, récurrence et algorithme (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>1$.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ :

b. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.

c. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente.

4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\frac{u_n-1}{u_n+1}$.

a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$. On précisera son premier terme $v_0$.

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$ :

c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

5. On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n-1⩽10^{-6}$. On considère l'algorithme suivant, écrit en langage naturel, où $u$ désigne une variable réelle et $n$ une variable entière.

$n\leftarrow 0$
$u\leftarrow 2$
Tant que $u-1>10^{-6}$ faire
    $u\leftarrow (3u+1)/(u+3)$
    $n\leftarrow n+1$
Fin Tant que

a. Expliquer le rôle de cet algorithme et indiquer la valeur contenue dans la variable $n$ à la fin de son exécution représente quelle quantité.

b. À l'aide de la question 4, déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $u_n-1⩽10^{-6}$. On rappelle que $\ln 2\approx 0,693$.

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (6 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points :

1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

b. Calculer la longueur $AB$.

2. a. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.

b. On appelle plan médiateur du segment $[AB]$ l'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants de $A$ et de $B$, c'est-à-dire vérifiant $MA=MB$. Montrer que ce plan médiateur, noté $\mathcal{P}$, admet pour équation cartésienne :

3. a. Le point $C$ appartient-il au plan $\mathcal{P}$ ? Justifier.

b. Vérifier que les points $C$ et $D$ sont situés du même côté du plan $\mathcal{P}$.

4. a. Donner un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $C$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

c. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\mathcal{P}$.

d. En déduire la distance du point $C$ au plan $\mathcal{P}$.

Exercice 3 — Fonction exponentielle et logarithme (7 points)

Partie A — Étude d'une fonction.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. On pourra utiliser le résultat de croissance comparée $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$.

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

3. Montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=x{\mathrm{e}}^x$, où $f^{\prime }$ désigne la fonction dérivée de $f$.

4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$ (limites comprises).

5. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, et préciser cette solution.

6. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

Partie B — Étude d'une fonction associée au logarithme.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $g(x)=\frac{\ln x}{x}$.

1. Déterminer la limite de $g$ en $0^{+}$.

2. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. On rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.

3. Montrer que, pour tout réel $x>0$, $g^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

4. En déduire le tableau de variations de $g$ sur $]0;+\infty [$, et montrer que $g$ admet un maximum dont on précisera la valeur exacte.

5. Résoudre dans $]0;+\infty [$ l'équation $g(x)=0$.