Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°10)

Exercice 1 — Dérivation et convexité (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (On rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{e}^x=0$.)

2. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(x^2-2)e^x$.

3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+2x-2)e^x$.

5. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}$.

6. On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

a. Déterminer une équation de $T$.

b. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$ sur l'intervalle $[-1;0]$.

Exercice 2 — Calcul intégral (6 points)

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;1]$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

1. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, on a $f(x)⩾g(x)$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x\mathrm{d}x$.

3. En déduire la valeur exacte, en cm${}^2$, de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ sur l'intervalle $[0;1]$.

4. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles (7 points)

Dans une région, une maladie touche $4\%$ de la population. On dispose d'un test de dépistage présentant les caractéristiques suivantes :

• si une personne est malade, le test est positif dans $95\%$ des cas ;
• si une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $90\%$ des cas.

On choisit une personne au hasard dans la population. On note :

• $M$ l'événement « la personne est malade » ;
• $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P(M\cap T)$.

3. Montrer que $P(T)=0,134$.

4. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. On arrondira le résultat au millième.

5. Commenter, en une phrase, le résultat obtenu à la question précédente.

6. On choisit au hasard $5$ personnes de cette population, de façon indépendante. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes dont le test est positif.

a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Calculer la probabilité qu'au moins une des $5$ personnes ait un test positif. On arrondira au millième.