Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°1)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Suites et récurrence (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. On souhaite montrer que, pour tout entier naturel $n$, $2⩽u_n<6$.

  a) Démontrer cette propriété par récurrence.

  b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

  c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n-6$ pour tout entier naturel $n$.

  a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.

  b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=6-4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

  c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $6-u_n<10^{-3}$.

Exercice 2 — Étude de fonction avec exponentielle (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(2-x){\mathrm{e}}^x.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. (On rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$.)

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

3.

  a) Montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(1-x){\mathrm{e}}^x$.

  b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, et la déterminer.

5. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

6. On admet que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(3-x){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Exercice 3 — Probabilités (6 points)

Une usine fabrique des pièces à l'aide de deux machines A et B. La machine A produit $60\%$ des pièces et la machine B produit le reste de la production. On constate que :

• parmi les pièces produites par la machine A, $3\%$ présentent un défaut ;
• parmi les pièces produites par la machine B, $5\%$ présentent un défaut.

On prélève au hasard une pièce dans la production de l'usine. On note les événements :

• $A$ : « la pièce provient de la machine A » ;
• $B$ : « la pièce provient de la machine B » ;
• $D$ : « la pièce présente un défaut ».

Partie A

1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P(A\cap D)$.

3. Démontrer que $P(D)=0,038$.

4. Sachant que la pièce prélevée présente un défaut, calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A. On arrondira le résultat au millième.

Partie B

On prélève au hasard un échantillon de $20$ pièces dans la production de l'usine. La production est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage successif avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'échantillon ne contienne aucune pièce défectueuse. On arrondira au millième.

3. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On arrondira au millième.

4. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.