Mémento Vecteurs — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur $u$ est un objet mathématique caractérisé par trois données : une direction (celle de sa droite), un sens (l'orientation sur cette direction) et une norme (sa longueur, notée $∥ u ∥$ ). On le représente par une flèche. Le vecteur $A B$ va du point $A$ (origine) vers le point $B$ (extrémité).

Vecteur nul et norme

Le vecteur nul $0 = AA$ a une norme égale à $0$ ; il n'a ni direction ni sens définis. Pour deux points $A$ et $B$ , la norme $∥ A B ∥$ est égale à la distance $A B$ .

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Ainsi $A B = C D$ signifie que les flèches sont des copies l'une de l'autre, même si $A \neq = C$ . Exemple : dans un parallélogramme $A B C D$ , on a $A B = D C$ .

Translation

La translation de vecteur $u$ associe à tout point $M$ le point $M^{'}$ tel que $M M^{'} = u$ . Dire que $A B = C D$ revient à dire que $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $A B$ . La translation conserve les longueurs, les angles et le parallélisme.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, un vecteur $u$ a des coordonnées $(x y)$ . Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $A B$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$ . Exemple : pour $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ , $A B (34)$ .

Égalité par les coordonnées

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées : $u (x y) = v (x^{'} y^{'})$ équivaut à $x = x^{'}$ et $y = y^{'}$ .

Somme de vecteurs et relation de Chasles

La relation de Chasles permet d'enchaîner les déplacements : $A B + B C = A C$ . L'extrémité du premier vecteur sert d'origine au second. En coordonnées, on additionne membre à membre : $u + v (x + x^{'} y + y^{'})$ .

Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs de même origine, on utilise la règle du parallélogramme : si $A B$ et $A D$ partent de $A$ , alors $A B + A D = A C$ où $A B C D$ est un parallélogramme.

Produit d'un vecteur par un réel

Pour un réel $k$ , le vecteur $k u$ a la même direction que $u$ . Si $k > 0$ , même sens ; si $k < 0$ , sens opposé ; sa norme est $∥ k u ∥ = ∣ k ∣ \times ∥ u ∥$ . En coordonnées : $k u (k x k y)$ . Exemple : $2 u$ est deux fois plus long que $u$ et de même sens.

Colinéarité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (avec $u \neq = 0$ ). Géométriquement, ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Critère de colinéarité

Avec $u (x y)$ et $v (x^{'} y^{'})$ , les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $x y^{'} - x^{'} y = 0$ . Ce nombre $x y^{'} - x^{'} y$ est appelé déterminant des deux vecteurs.

Applications : parallélisme, alignement, parallélogramme

La colinéarité est l'outil clé : les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si $A B$ et $C D$ sont colinéaires ; les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si $A B$ et $A C$ sont colinéaires ; et $A B C D$ est un parallélogramme si $A B = D C$ .

🔑 Formules clés à retenir

Coordonnées d'un vecteur : si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$ .
Norme : $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Somme (coordonnées) : $u + v (x + x^{'} y + y^{'})$ .
Produit par un réel : $k u (k x k y)$ .
Relation de Chasles : $A B + B C = A C$ .
Règle du parallélogramme : $A B + A D = A C$ avec $A B C D$ parallélogramme.
Critère de colinéarité : $u$ et $v$ colinéaires $⟺ x y^{'} - x^{'} y = 0$ .
Milieu : $I$ est le milieu de $[A B]$ $⟺ A I = I B ⟺ A I = \frac{1}{2} A B$ .

💡 Astuces & erreurs à éviter

Origine et extrémité : dans $A B$ , l'ordre compte ! $A B = - B A$ , ce sont des vecteurs opposés, jamais égaux (sauf vecteur nul).
Coordonnées : ne pas inverser ! C'est extrémité moins origine : $x_{B} - x_{A}$ et non $x_{A} - x_{B}$ .
Parallélogramme : piège classique sur l'ordre. Pour $A B C D$ , l'égalité correcte est $A B = D C$ (et non $A B = C D$ , qui donnerait un parallélogramme croisé).
Chasles : l'enchaînement ne fonctionne que si le point d'arrivée du premier vecteur est le point de départ du second : $A B + B C$ et non $A B + C B$ .
Déterminant nul : $x y^{'} - x^{'} y = 0$ signifie colinéaire (droites parallèles ou points alignés), pas perpendiculaire. La perpendicularité n'est pas au programme de Seconde.
Colinéaire ≠ égaux : deux vecteurs colinéaires ont la même direction mais pas forcément la même norme ni le même sens.
Vecteur nul : $0$ est colinéaire à tous les vecteurs ; ne jamais diviser par un vecteur, cela n'a aucun sens.

🎯 Méthodes de résolution

Calculer les coordonnées d'un vecteur $A B$ : repérer les coordonnées de $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , puis appliquer $A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$ . Toujours faire extrémité moins origine. Exemple : $A (- 1; 3)$ , $B (2; - 1)$ donnent $A B (3 - 4)$ .
Montrer que $A B C D$ est un parallélogramme : calculer les coordonnées de $A B$ et de $D C$ . Si $A B = D C$ (mêmes coordonnées), alors $A B C D$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres : on compare $A B$ et $D C$ , pas $C D$ . On peut aussi montrer que les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu.
Montrer une colinéarité ou un alignement : calculer les coordonnées des deux vecteurs $u (x y)$ et $v (x^{'} y^{'})$ , puis calculer le déterminant $x y^{'} - x^{'} y$ . S'il vaut $0$ , les vecteurs sont colinéaires. Pour un alignement de $A$ , $B$ , $C$ , on teste la colinéarité de $A B$ et $A C$ . Pour un parallélisme de $(A B)$ et $(C D)$ , on teste celle de $A B$ et $C D$ .

✏️

Exercices corrigés

S'entraîner sur ce chapitre

📄

Annales du bac

Sujets corrigés 2022–2024

📋

Autres mémentos

Tous les chapitres