Mémento Variables aléatoires — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel. On note $X (Ω)$ l'ensemble des valeurs possibles ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ .

Exemple : on lance un dé et $X$ est le gain : $+ 3$ si on obtient $6$ , $- 1$ sinon. Alors $X (Ω) = {- 1; 3}$ .

Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur $x_{i}$ sa probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ . On la présente souvent dans un tableau. La somme de toutes les probabilités vaut toujours $1$ : $i = 1 \sum n p_{i} = 1$ .

Espérance $E (X)$

L'espérance est la moyenne des valeurs de $X$ pondérées par leurs probabilités : $E (X) = i = 1 \sum n x_{i} P (X = x_{i})$ . Elle représente la valeur moyenne obtenue si l'on répète un très grand nombre de fois l'expérience.

Exemple : pour le dé ci-dessus, $E (X) = (- 1) \times \frac{5}{6} + 3 \times \frac{1}{6} = - \frac{2}{6} \approx - 0, 33$ .

Variance $V (X)$

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance : $V (X) = i = 1 \sum n P (X = x_{i}) (x_{i} - E (X))^{2}$ . On utilise souvent la formule de König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ , avec $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} P (X = x_{i})$ .

Écart-type

L'écart-type $σ (X) = V (X)$ exprime la dispersion dans la même unité que $X$ . Plus $σ (X)$ est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne.

Propriétés de l'espérance

Pour tous réels $a$ et $b$ : $E (a X + b) = a E (X) + b$ . L'espérance est linéaire.

Exemple : si $E (X) = 4$ , alors $E (2 X + 5) = 2 \times 4 + 5 = 13$ .

Propriétés de la variance

Pour tous réels $a$ et $b$ : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ . La constante $b$ (translation) ne change pas la dispersion, et le facteur $a$ est élevé au carré. On en déduit $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ .

Interprétation : gain moyen

Dans un jeu, $E (X)$ s'interprète comme le gain (ou la perte) moyen par partie sur le long terme. Un jeu est dit équitable lorsque $E (X) = 0$ : ni le joueur ni l'organisateur n'est avantagé.

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1 - p$ ). La variable $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , avec $E (X) = p$ et $V (X) = p (1 - p)$ .

🔑 Formules clés à retenir

Loi de probabilité : $i = 1 \sum n P (X = x_{i}) = 1$
Espérance : $E (X) = i = 1 \sum n x_{i} P (X = x_{i})$
Espérance de $X^{2}$ : $E (X^{2}) = i = 1 \sum n x_{i}^{2} P (X = x_{i})$
Variance (définition) : $V (X) = i = 1 \sum n P (X = x_{i}) (x_{i} - E (X))^{2}$
Variance (König-Huygens) : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$
Écart-type : $σ (X) = V (X)$
Linéarité : $E (a X + b) = a E (X) + b$
Variance affine : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$
Bernoulli de paramètre $p$ : $E (X) = p$ et $V (X) = p (1 - p)$

💡 Astuces & erreurs à éviter

La variance est toujours positive ou nulle : $V (X) \geq 0$ . Un résultat négatif signale une erreur de calcul (souvent un signe ou une puissance oubliée).
Unités : l'espérance et l'écart-type s'expriment dans l'unité de $X$ (euros, cm…), mais la variance dans cette unité au carré. Pour comparer à $X$ , on utilise donc $σ (X)$ .
Piège sur $V (a X + b)$ : le coefficient est $a^{2}$ (et non $a$ ), et la constante $b$ disparaît car une translation ne modifie pas la dispersion.
Ne pas confondre $E (X^{2})$ et $(E (X))^{2}$ : ces deux quantités sont en général différentes, et c'est précisément leur écart qui donne la variance.
Vérifier la loi : avant tout calcul, contrôler que $\sum P (X = x_{i}) = 1$ . Sinon, la loi est fausse et tout le reste le sera aussi.
Espérance non linéaire pour le carré : en général $E (X^{2}) \neq = (E (X))^{2}$ , alors que $E (a X + b) = a E (X) + b$ reste valable.

🎯 Méthodes de résolution

Dresser la loi de probabilité. Déterminer toutes les valeurs possibles $x_{i}$ de $X$ , calculer chaque $P (X = x_{i})$ , puis dresser le tableau. Vérifier que la somme des probabilités vaut bien $1$ .
Calculer l'espérance. Appliquer $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$ en multipliant chaque valeur par sa probabilité, puis en additionnant.
Calculer la variance et l'écart-type. Calculer $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} P (X = x_{i})$ , puis $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ . Enfin $σ (X) = V (X)$ .
Utiliser les propriétés. Pour une variable du type $Y = a X + b$ , ne pas refaire les calculs : appliquer $E (Y) = a E (X) + b$ et $V (Y) = a^{2} V (X)$ .
Interpréter. Donner le sens de $E (X)$ (gain moyen, durée moyenne…) et conclure, par exemple si un jeu est équitable ( $E (X) = 0$ ), favorable ( $E (X) > 0$ ) ou défavorable ( $E (X) < 0$ ).

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