Mémento Trigonométrie — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d'un sens de parcours. Le sens direct (positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. On y repère les points à partir de $I (1; 0)$ .

L'enroulement de la droite numérique

On imagine la droite des réels tangente au cercle en $I$ , puis on l'enroule autour du cercle. À chaque réel $x$ correspond alors un unique point $M$ du cercle. Comme le périmètre vaut $2 π$ , les réels $x$ et $x + 2 π$ aboutissent au même point.

Le radian

Le radian est l'unité d'angle telle qu'un arc de longueur $1$ sur le cercle trigonométrique correspond à un angle de $1$ rad. Le tour complet vaut $2 π$ rad, soit $360°$ . On a donc $π$ rad $= 180°$ .

Exemple : $90°$ correspond à $\frac{π}{2}$ rad.

Cosinus et sinus d'un réel

Soit $M$ le point associé au réel $x$ par enroulement. Par définition, le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$ et le sinus de $x$ est son ordonnée : $M (cos x; sin x)$ .

Pour tout réel $x$ : $- 1 ⩽ cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ sin x ⩽ 1$ .

Les valeurs remarquables

Il faut connaître par cœur :

$cos 0 = 1$ , $sin 0 = 0$ ; $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ; $cos \frac{π}{4} = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ; $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ; $cos \frac{π}{2} = 0$ , $sin \frac{π}{2} = 1$ .

L'identité fondamentale

Pour tout réel $x$ : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ . Cette relation permet de calculer $sin x$ connaissant $cos x$ (au signe près), et inversement.

Exemple : si $cos x = \frac{3}{5}$ , alors $sin^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $sin x = \pm \frac{4}{5}$ .

Parité et périodicité

La fonction cosinus est paire : $cos (- x) = cos x$ . La fonction sinus est impaire : $sin (- x) = - sin x$ . Toutes deux sont périodiques de période $2 π$ : $cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$ .

Les angles associés

En exploitant les symétries du cercle, on relie les valeurs en $- x$ , $π - x$ , $π + x$ et $\frac{π}{2} - x$ à celles en $x$ . Par exemple $cos (π - x) = - cos x$ et $sin (π - x) = sin x$ .

Exemple : $cos \frac{5 π}{6} = cos (π - \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$ .

Les équations cos x = a et sin x = a

Pour $- 1 ⩽ a ⩽ 1$ , l'équation $cos x = a$ admet, sur un tour, deux solutions opposées $x = α$ et $x = - α$ . De même $sin x = a$ a deux solutions $x = β$ et $x = π - β$ . On ajoute ensuite $2 k π$ ( $k \in Z$ ) pour décrire toutes les solutions.

🔑 Formules clés à retenir

$π$ rad $= 180°$ , donc $1° = \frac{π}{180}$ rad et $1$ rad $= \frac{180}{π} °$ .
$M$ associé à $x$ : $M (cos x; sin x)$ , avec $- 1 ⩽ cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ sin x ⩽ 1$ .
Identité : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .
Périodicité : $cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$ .
Parité : $cos (- x) = cos x$ et $sin (- x) = - sin x$ .
$cos (π - x) = - cos x$ et $sin (π - x) = sin x$ .
$cos (π + x) = - cos x$ et $sin (π + x) = - sin x$ .
$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ et $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ .
Valeurs remarquables : $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .
$cos x = a ⟺ x = α + 2 k π$ ou $x = - α + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
$sin x = a ⟺ x = β + 2 k π$ ou $x = π - β + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).

💡 Astuces & erreurs à éviter

Radians vs degrés : en spé, on travaille presque toujours en radians. Gardez en tête les repères $\frac{π}{6} = 30°$ , $\frac{π}{4} = 45°$ , $\frac{π}{3} = 60°$ , $\frac{π}{2} = 90°$ .
Signe selon le quadrant : à droite/gauche pour le signe de $cos$ , en haut/bas pour le signe de $sin$ . Quadrant 1 : tout positif ; quadrant 2 : $cos < 0$ , $sin > 0$ ; quadrant 3 : tout négatif ; quadrant 4 : $cos > 0$ , $sin < 0$ .
Mémoriser les valeurs : pour $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ , le sinus suit $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ ; le cosinus se lit à l'envers.
Pensez périodicité : avant tout calcul, ramenez l'angle dans $[0; 2 π [$ en ajoutant ou retranchant des $2 π$ .
$cos$ pair, $sin$ impair : un signe $-$ devant l'angle disparaît dans $cos$ mais ressort dans $sin$ .
Vérifiez avec l'identité : tout couple $(cos x, sin x)$ doit satisfaire $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ ; sinon il y a une erreur.

🎯 Méthodes de résolution

Convertir un angle. Pour passer des degrés aux radians, multiplier par $\frac{π}{180}$ ; pour l'inverse, multiplier par $\frac{180}{π}$ . Exemple : $135° = 135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}$ rad.
Placer un angle sur le cercle. Réduire d'abord la mesure modulo $2 π$ (retrancher ou ajouter des tours), repérer le quadrant, puis placer $M$ en lisant l'abscisse $cos x$ et l'ordonnée $sin x$ .
Calculer une valeur via les angles associés. Écrire l'angle sous la forme $π \pm α$ , $- α$ ou $\frac{π}{2} - α$ avec $α$ remarquable, puis appliquer la formule d'angle associé. Exemple : $sin \frac{7 π}{6} = sin (π + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ .
Résoudre $cos x = a$ . Vérifier que $- 1 ⩽ a ⩽ 1$ , trouver une solution évidente $α$ , puis écrire $x = α + 2 k π$ ou $x = - α + 2 k π$ . Conserver enfin les solutions appartenant à l'intervalle demandé.
Résoudre $sin x = a$ . Trouver une solution $β$ , puis écrire $x = β + 2 k π$ ou $x = π - β + 2 k π$ , et sélectionner celles de l'intervalle imposé. Exemple : $sin x = \frac{1}{2}$ donne $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ .

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