Mémento Suites — limites et récurrence — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Principe de récurrence. Soit

P (n)

une propriété définie pour

n \geq n_{0}

. Si :
(i) Initialisation :

P (n_{0})

est vraie ;
(ii) Hérédité : pour tout

k \geq n_{0}

P (k) \Rightarrow P (k + 1)

;
alors

P (n)

est vraie pour tout

n \geq n_{0}

Exemple. Montrons que $i = 0 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Pour $n = 0$ , $0 = 0$ . Si $i = 0 \sum k i = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ , alors $i = 0 \sum k + 1 i = \frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ .

2. Suites majorées, minorées, bornées, monotones

Une suite $(u_{n})$ est majorée s'il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_{n} \geq m$ ; bornée si elle est majorée et minorée. Elle est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ .

Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou (si tous les termes sont strictement positifs) on compare $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ , ou encore on étudie $f$ lorsque $u_{n} = f (n)$ .

3. Limite finie d'une suite : convergence

Définition. La suite

(u_{n})

converge vers $ℓ$ , noté

n \to + \infty lim u_{n} = ℓ

, si tout intervalle ouvert contenant

ℓ

contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Formellement : pour tout

ε > 0

, il existe

N

tel que

n \geq N \Rightarrow ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε

Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Lorsqu'elle existe, la limite est unique. Exemple : $n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0$ .

4. Limite infinie d'une suite

Définition.

(u_{n})

tend vers $+ \infty$ si tout intervalle

] A, + \infty [

contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang : pour tout

A

, il existe

N

tel que

n \geq N \Rightarrow u_{n} \geq A

. On définit de même

lim u_{n} = - \infty

Limites de référence : $n \to + \infty lim n = n \to + \infty lim n^{2} = n \to + \infty lim n = + \infty$ , tandis que $n \to + \infty lim \frac{1}{n} = n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0$ .

5. Opérations sur les limites

Si $lim u_{n} = ℓ$ et $lim v_{n} = ℓ^{'}$ (finies ou infinies), on combine les limites pour la somme, le produit et le quotient, sous réserve d'absence de forme indéterminée (FI).

Les quatre formes indéterminées sont : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ . Exemple de FI : $u_{n} = n^{2} - n = n (n - 1)$ donne la FI $\infty - \infty$ que l'on lève par factorisation, d'où $lim u_{n} = + \infty$ .

6. Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison. Si

u_{n} \leq v_{n}

à partir d'un certain rang et

lim u_{n} = + \infty

, alors

lim v_{n} = + \infty

. De même, si

v_{n} \leq u_{n}

lim u_{n} = - \infty

, alors

lim v_{n} = - \infty

Exemple : $u_{n} = n + cos n \geq n - 1 \to + \infty$ , donc $lim u_{n} = + \infty$ .

7. Théorème des gendarmes (encadrement)

Théorème des gendarmes. Si

u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}

à partir d'un certain rang et si

lim u_{n} = lim w_{n} = ℓ

(finie), alors

(v_{n})

converge et

lim v_{n} = ℓ

Exemple : $- \frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ , donc $n \to + \infty lim \frac{sin n}{n} = 0$ .

8. Théorème de convergence monotone

Théorème. Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Corollaires : une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $- \infty$ . Attention : ce théorème assure l'existence de la limite mais ne la donne pas explicitement.

9. Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique de raison $r$ si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ). Somme : $k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ . Si $r > 0$ elle tend vers $+ \infty$ , si $r < 0$ vers $- \infty$ , si $r = 0$ elle est constante.

10. Suites géométriques

Une suite est géométrique de raison $q$ si $u_{n + 1} = q u_{n}$ . Terme général : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ . Somme (pour $q \neq = 1$ ) : $k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Limite de $q^{n}$ . Si

q > 1

lim q^{n} = + \infty

; si

- 1 < q < 1

lim q^{n} = 0

; si

q = 1

q^{n} = 1

; si

q \leq - 1

(q^{n})

n'a pas de limite.

11. Suites arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq = 1$ . On cherche le point fixe $ℓ$ solution de $ℓ = a ℓ + b$ , soit $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ . La suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est alors géométrique de raison $a$ : $v_{n} = (u_{0} - ℓ) a^{n}$ , d'où $u_{n} = (u_{0} - ℓ) a^{n} + ℓ$ .

Exemple : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ a pour point fixe $ℓ = 6$ ; $v_{n} = u_{n} - 6$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , donc $lim u_{n} = 6$ .

12. Suites définies par $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Pour une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f$ continue, on procède en plusieurs temps : on conjecture la monotonie et un encadrement (souvent par récurrence), on applique le théorème de convergence monotone, puis on cherche la limite $ℓ$ parmi les solutions de l'équation de point fixe $f (ℓ) = ℓ$ .

Théorème du point fixe. Si

u_{n + 1} = f (u_{n})

converge vers

ℓ

et si

f

est continue en

ℓ

, alors

f (ℓ) = ℓ

🔑 Formules clés à retenir

Récurrence : initialisation + hérédité $\Rightarrow$ $P (n)$ vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .
Suite arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n r$ ; somme $k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ .
Suite géométrique : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ ; somme $k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (pour $q \neq = 1$ ).
Limites de $q^{n}$ : $q > 1 \Rightarrow + \infty$ ; $- 1 < q < 1 \Rightarrow 0$ ; $q = 1 \Rightarrow 1$ ; $q \leq - 1 \Rightarrow$ pas de limite.
Limites de référence : $lim n = lim n^{2} = lim n = + \infty$ ; $lim \frac{1}{n} = lim \frac{1}{n} = 0$ .
Arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ : point fixe $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ , puis $u_{n} = (u_{0} - ℓ) a^{n} + ℓ$ .
Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .
Gendarmes : $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ avec $lim u_{n} = lim w_{n} = ℓ \Rightarrow lim v_{n} = ℓ$ .
Comparaison : $u_{n} \leq v_{n}$ et $lim u_{n} = + \infty \Rightarrow lim v_{n} = + \infty$ .
Convergence monotone : croissante majorée $\Rightarrow$ converge ; décroissante minorée $\Rightarrow$ converge.
Point fixe : $u_{n + 1} = f (u_{n}) \to ℓ$ et $f$ continue en $ℓ \Rightarrow f (ℓ) = ℓ$ .
Inégalité de Bernoulli : $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ pour $a \geq - 1$ (utile pour $lim q^{n}$ ).

💡 Astuces & erreurs à éviter

Ne jamais oublier l'initialisation : une hérédité seule ne prouve rien. Vérifier aussi qu'on initialise au bon rang $n_{0}$ .
Dans l'hérédité, bien utiliser l'hypothèse de récurrence $P (k)$ : sinon la récurrence est inutile.
Piège classique : croissante et majorée $\Rightarrow$ converge, mais croissante seule ne suffit pas (elle peut tendre vers $+ \infty$ ).
Le théorème de convergence monotone donne l'existence de la limite, jamais sa valeur : il faut ensuite une autre méthode (point fixe).
Attention : si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ converge vers $ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ , mais la réciproque est fausse — l'existence de la limite doit être prouvée d'abord.
$\frac{\infty}{\infty}$ et $\infty - \infty$ sont des FI : on ne conclut jamais directement, on factorise.
Pour les gendarmes, il faut que les deux bornes tendent vers la même limite finie ; un seul gendarme suffit seulement pour une limite infinie (théorème de comparaison).
Erreur fréquente : écrire $lim q^{n} = 0$ sans vérifier $- 1 < q < 1$ . Pour $q \leq - 1$ , la suite $(q^{n})$ n'a pas de limite (elle oscille).
Bien distinguer raison $r$ (arithmétique, additive) et raison $q$ (géométrique, multiplicative).
Pour une suite arithmético-géométrique, le point fixe n'existe que si $a \neq = 1$ ; si $a = 1$ la suite est arithmétique.
Une suite peut être divergente sans tendre vers $\pm \infty$ : ex. $u_{n} = (- 1)^{n}$ diverge en oscillant.
Vérifier la continuité de $f$ avant d'écrire $f (ℓ) = ℓ$ ; en Terminale les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.

🎯 Méthodes de résolution

Démontrer par récurrence. 1) Énoncer clairement la propriété $P (n)$ et le rang initial $n_{0}$ . 2) Initialisation : vérifier $P (n_{0})$ par le calcul. 3) Hérédité : supposer $P (k)$ vraie pour un $k \geq n_{0}$ fixé (hypothèse de récurrence), puis démontrer $P (k + 1)$ en s'appuyant dessus. 4) Conclusion : invoquer le principe de récurrence.
Étudier le sens de variation. 1) Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et étudier son signe ; OU 2) si $u_{n} > 0$ , comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ ; OU 3) si $u_{n} = f (n)$ , étudier les variations de $f$ sur $[n_{0}, + \infty [$ . 4) Conclure croissante / décroissante / constante.
Lever une forme indéterminée. 1) Identifier la FI ( $\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ ). 2) Pour un polynôme, factoriser par le terme de plus haut degré. 3) Pour un quotient, factoriser numérateur et dénominateur par leurs termes dominants, puis simplifier. 4) Pour une racine, utiliser l'expression conjuguée. 5) Conclure avec les limites de référence.
Utiliser le théorème des gendarmes. 1) Repérer une expression bornée (souvent $sin$ , $cos$ , $(- 1)^{n}$ ). 2) Encadrer : $- 1 \leq sin n \leq 1$ , puis transmettre l'encadrement au terme étudié. 3) Vérifier que les deux bornes tendent vers la même limite $ℓ$ . 4) Conclure $lim v_{n} = ℓ$ .
Étudier une suite arithmético-géométrique. 1) Résoudre $ℓ = a ℓ + b$ pour obtenir le point fixe $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ . 2) Poser $v_{n} = u_{n} - ℓ$ et montrer que $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ . 3) Écrire $v_{n} = v_{0} a^{n}$ . 4) Revenir à $u_{n} = v_{n} + ℓ$ et déterminer $lim u_{n}$ via $lim a^{n}$ .
Étudier une suite $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . 1) Conjecturer le comportement (calcul des premiers termes). 2) Démontrer par récurrence un encadrement (ex. $0 \leq u_{n} \leq 2$ ) et la monotonie. 3) Appliquer le théorème de convergence monotone pour justifier l'existence d'une limite $ℓ$ . 4) Résoudre $f (ℓ) = ℓ$ ( $f$ continue) et trancher entre les solutions à l'aide de l'encadrement.
Montrer qu'une suite converge sans calculer la limite. 1) Montrer la monotonie (méthode 2). 2) Montrer qu'elle est majorée (si croissante) ou minorée (si décroissante), souvent par récurrence. 3) Conclure par le théorème de convergence monotone.
Déterminer la nature d'une suite géométrique. 1) Identifier la raison $q$ . 2) Appliquer le résultat sur $lim q^{n}$ selon la position de $q$ par rapport à $- 1$ et $1$ . 3) Multiplier par $u_{0}$ pour conclure sur $lim u_{n}$ .

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4. Limite infinie d'une suite

5. Opérations sur les limites

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7. Théorème des gendarmes (encadrement)

8. Théorème de convergence monotone

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