Mémento Suites numériques — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique $(u_{n})$ est une fonction définie sur $N$ (ou une partie de $N$ ) qui à chaque entier $n$ associe un réel noté $u_{n}$ , appelé terme de rang $n$ . On distingue $u_{n}$ (le terme) de $(u_{n})$ (la suite entière). Exemple : $u_{n} = 2 n + 1$ donne $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 3$ , $u_{2} = 5$ .

2. Génération par formule explicite

Une suite est définie de façon explicite quand $u_{n}$ s'exprime directement en fonction de $n$ : $u_{n} = f (n)$ . On calcule alors n'importe quel terme sans connaître les précédents. Exemple : $u_{n} = n^{2}$ donne directement $u_{10} = 100$ .

3. Génération par récurrence

Une suite est définie par récurrence quand on donne le premier terme et une relation reliant $u_{n + 1}$ à $u_{n}$ : ${u_{0} = a u_{n + 1} = g (u_{n})$ . Pour obtenir $u_{n}$ , il faut calculer tous les termes précédents. Exemple : $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ donne $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 9$ .

4. Sens de variation

Une suite est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ , et monotone si elle est croissante ou décroissante. On étudie le signe de la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou pour une suite à termes strictement positifs on compare le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .

5. Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , appelé raison : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . La différence $u_{n + 1} - u_{n} = r$ est constante. Exemple : $2, 5, 8, 11, \dots$ est arithmétique de raison $r = 3$ .

6. Suites arithmétiques : terme général et somme

Le terme général s'écrit $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ). Une suite arithmétique est croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ . La somme de termes consécutifs vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme des extrêmes : $S = (nb termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$ . Exemple : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

7. Suites géométriques

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , appelé raison : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ . Le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ est constant. Exemple : $3, 6, 12, 24, \dots$ est géométrique de raison $q = 2$ .

8. Suites géométriques : terme général et somme

Le terme général s'écrit $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ (ou $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ ). La somme des puissances pour $q \neq = 1$ est $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . Plus généralement, $S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{nb termes}}{1 - q}$ . Exemple : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2 ^{11}}{1 - 2} = 2047$ .

9. Sens de variation d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique à premier terme strictement positif : si $q > 1$ elle est croissante, si $0 < q < 1$ elle est décroissante, si $q = 1$ elle est constante. Si $q < 0$ , la suite n'est pas monotone (les termes changent de signe).

10. Représentation graphique

On représente une suite par un nuage de points de coordonnées $(n; u_{n})$ ; on ne relie pas les points. Pour une suite arithmétique, les points sont alignés (la raison joue le rôle d'un coefficient directeur). Pour une suite géométrique, les points suivent une croissance ou décroissance exponentielle.

11. Applications concrètes

Les suites arithmétiques modélisent les évolutions à variation constante (épargne avec versement fixe, remboursement linéaire). Les suites géométriques modélisent les évolutions en pourcentage : une hausse de $t %$ correspond à une multiplication par $q = 1 + \frac{t}{100}$ , une baisse de $t %$ par $q = 1 - \frac{t}{100}$ (intérêts composés, croissance d'une population).

12. Bilan : reconnaître le type d'une suite

Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule plusieurs différences $u_{n + 1} - u_{n}$ : si elles sont toutes égales, c'est une suite arithmétique. Pour le caractère géométrique, on calcule plusieurs quotients $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ : s'ils sont tous égaux, c'est une suite géométrique. Une suite peut n'être ni l'une ni l'autre.

🔑 Formules clés à retenir

Suite explicite : $u_{n} = f (n)$ (calcul direct du terme de rang $n$ ).
Suite par récurrence : $u_{0}$ donné et $u_{n + 1} = g (u_{n})$ .
Arithmétique — relation : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .
Arithmétique — terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ et $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .
Arithmétique — somme : $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ .
Somme des premiers entiers : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Géométrique — relation : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
Géométrique — terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ .
Somme des puissances ( $q \neq = 1$ ) : $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
Géométrique — somme générale : $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
Variation d'une hausse de $t %$ : $q = 1 + \frac{t}{100}$ ; baisse : $q = 1 - \frac{t}{100}$ .

💡 Astuces & erreurs à éviter

Ne pas confondre $u_{n}$ et $(u_{n})$ : $u_{n}$ est un nombre (le terme de rang $n$ ), $(u_{n})$ désigne la suite entière.
Différence constante vs quotient constant : arithmétique = on ajoute toujours $r$ ; géométrique = on multiplie toujours par $q$ . Une erreur fréquente est de confondre les deux.
Piège du comptage des termes : de $u_{p}$ à $u_{n}$ , il y a $n - p + 1$ termes (et non $n - p$ ). Pour $u_{0}$ à $u_{n}$ , cela fait $n + 1$ termes.
Formule de somme géométrique : valable uniquement si $q \neq = 1$ . Si $q = 1$ , tous les termes sont égaux et la somme vaut simplement $(nb termes) \times u_{0}$ .
$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et non $u_{0} \times q^{n - 1}$ : l'exposant est le rang $n$ quand on part de $u_{0}$ . Attention si la suite commence à $u_{1}$ .
Pourcentage : une hausse de $20%$ correspond à $q = 1, 2$ , pas à $q = 0, 2$ . Une baisse de $20%$ correspond à $q = 0, 8$ .
Hausses successives : deux hausses de $10%$ ne donnent pas $+ 20%$ mais $\times 1, 1 \times 1, 1 = \times 1, 21$ , soit $+ 21%$ .
Sens de variation et signe de $q$ : les règles ( $q > 1$ croissante, etc.) supposent un premier terme positif. Si $q < 0$ , la suite n'est jamais monotone.
Représentation : les points $(n; u_{n})$ ne se relient jamais par une courbe continue, car une suite n'est définie que pour des entiers.

🎯 Méthodes de résolution

Montrer qu'une suite est arithmétique. Calculer la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $n$ par $n + 1$ dans l'expression. Simplifier : si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , la suite est arithmétique de raison $r$ . Donner ensuite $u_{n} = u_{0} + n r$ .
Montrer qu'une suite est géométrique. Pour une suite à termes non nuls, calculer le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ . Simplifier : si le résultat est une constante $q$ indépendante de $n$ , la suite est géométrique de raison $q$ . Donner ensuite $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
Calculer une somme de termes consécutifs. Identifier le type de suite. Arithmétique : compter le nombre de termes, puis appliquer $S = (nb termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$ . Géométrique : appliquer $S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{nb termes}}{1 - q}$ . Attention au comptage : de $u_{p}$ à $u_{n}$ il y a $n - p + 1$ termes.
Étudier le sens de variation. Méthode 1 (différence) : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ; positif $\Rightarrow$ croissante, négatif $\Rightarrow$ décroissante. Méthode 2 (quotient, termes strictement positifs) : comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ ; supérieur à $1 \Rightarrow$ croissante, inférieur à $1 \Rightarrow$ décroissante. Pour une suite explicite $u_{n} = f (n)$ , on peut aussi étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0; + \infty [$ .
Calculer un terme à partir d'une définition par récurrence. Partir de $u_{0}$ et appliquer la relation pas à pas : $u_{1} = g (u_{0})$ , $u_{2} = g (u_{1})$ , etc., jusqu'au rang voulu.

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