Mémento Statistiques — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Série statistique

Une série statistique est un ensemble de données recueillies sur une population. Chaque individu possède une valeur d'un caractère (la taille des élèves, le nombre de frères et sœurs, etc.). Lorsque le caractère est un nombre, on parle de caractère quantitatif. Par exemple, les notes d'une classe à un contrôle forment une série statistique.

Effectifs et fréquences

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L'effectif total $N$ est le nombre total d'individus. La fréquence d'une valeur est le quotient $f = \frac{effectif}{N}$ . Une fréquence est un nombre compris entre $0$ et $1$ ; elle peut s'exprimer en pourcentage. Par exemple, si $6$ élèves sur $30$ ont eu $12$ , la fréquence est $\frac{6}{30} = 0, 2$ , soit $20%$ .

Indicateurs de position : la moyenne

La moyenne $\overline{x}$ d'une série résume celle-ci par une valeur centrale. On l'obtient en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre. Pour des notes $8$ , $12$ , $14$ , $16$ : $\overline{x} = \frac{8 + 12 + 14 + 16}{4} = 12, 5$ . La moyenne tient compte de toutes les valeurs.

Indicateurs de position : la médiane

La médiane $M e$ est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Contrairement à la moyenne, la médiane n'est pas sensible aux valeurs extrêmes.

La moyenne pondérée

Quand des valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ apparaissent avec des effectifs (ou coefficients) $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{p}$ , on calcule la moyenne pondérée : $\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$ . Par exemple, avec un devoir noté $10$ (coefficient $1$ ) et un examen noté $14$ (coefficient $3$ ) : $\overline{x} = \frac{1 \times 10 + 3 \times 14}{1 + 3} = \frac{52}{4} = 13$ .

Indicateurs de dispersion : l'étendue

Les indicateurs de dispersion mesurent à quel point les valeurs sont éloignées les unes des autres. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $\overset{e}{ˊ} tendue = x_{m a x} - x_{m i n}$ . Pour des notes allant de $6$ à $18$ , l'étendue vaut $18 - 6 = 12$ . C'est un indicateur simple mais très sensible aux valeurs extrêmes.

Indicateurs de dispersion : les quartiles

Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série ordonnée telle qu'au moins $25%$ des données lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_{3}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75%$ des données lui soient inférieures ou égales. La médiane $M e$ joue le rôle de second quartile.

Écart interquartile

L'écart interquartile est la différence $Q_{3} - Q_{1}$ . Il mesure la dispersion des valeurs centrales de la série, c'est-à-dire les $50%$ de données situées autour de la médiane. Contrairement à l'étendue, il n'est pas perturbé par les valeurs extrêmes, ce qui en fait un indicateur robuste.

Interprétation des indicateurs

Pour décrire une série, on associe un indicateur de position (moyenne ou médiane) à un indicateur de dispersion (étendue ou écart interquartile). Une médiane de $13$ avec un écart interquartile de $4$ signifie que la moitié des élèves ont une note comprise dans un intervalle de $4$ points autour du centre : la série est plutôt regroupée.

Le diagramme en boîte

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) représente visuellement la répartition d'une série. La boîte va de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ et est traversée par un trait à la médiane $M e$ . Les moustaches s'étendent jusqu'au minimum et au maximum. Il permet de comparer rapidement plusieurs séries.

Linéarité de la moyenne

La moyenne possède une propriété de linéarité très utile. Si on ajoute un même nombre $b$ à toutes les valeurs, la moyenne augmente de $b$ . Si on multiplie toutes les valeurs par un même nombre $a$ , la moyenne est multipliée par $a$ . Ainsi, si chaque note de moyenne $11$ est augmentée de $2$ points, la nouvelle moyenne est $11 + 2 = 13$ .

🔑 Formules clés à retenir

Moyenne (simple) : $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{N}}{N}$
Moyenne pondérée : $\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$
Fréquence : $f = \frac{effectif}{N}$
Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif
Premier quartile $Q_{1}$ : plus petite valeur telle qu'au moins $25%$ des données lui soient $\leq$
Troisième quartile $Q_{3}$ : plus petite valeur telle qu'au moins $75%$ des données lui soient $\leq$
Étendue : $x_{m a x} - x_{m i n}$
Écart interquartile : $Q_{3} - Q_{1}$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Médiane vs moyenne. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; une seule très grande valeur la tire vers le haut. La médiane, elle, n'en est pas affectée. Pour des salaires ou des séries déséquilibrées, la médiane décrit souvent mieux la situation typique.
Ordonner avant tout. Médiane et quartiles n'ont de sens que sur une série ordonnée. Oublier de ranger les valeurs dans l'ordre croissant est l'erreur la plus fréquente.
Position des quartiles. Pour $Q_{1}$ , on calcule $\frac{N}{4}$ (et non $\frac{N}{2}$ ). Si ce nombre n'est pas entier, on arrondit au rang supérieur ; ne jamais arrondir au plus proche.
$Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont des valeurs de la série (avec la convention du lycée), pas des moyennes : on lit directement la valeur au bon rang.
Ne pas confondre fréquence et effectif. Une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1$ ; un effectif est un entier positif.
Étendue ≠ écart interquartile. L'étendue utilise les extrêmes ( $max - min$ ) ; l'écart interquartile ne porte que sur les $50%$ centraux ( $Q_{3} - Q_{1}$ ).

🎯 Méthodes de résolution

Calculer une moyenne pondérée. Multiplier chaque valeur par son effectif (ou coefficient), additionner tous ces produits, puis diviser par la somme des effectifs. Exemple : valeurs $8$ ( $\times 2$ ), $12$ ( $\times 3$ ), $15$ ( $\times 5$ ) donnent $\overline{x} = \frac{2 \times 8 + 3 \times 12 + 5 \times 15}{2 + 3 + 5} = \frac{127}{10} = 12, 7$ .
Déterminer la médiane. Ordonner les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu (rang $\frac{N + 1}{2}$ ). Si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales (rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ ).
Déterminer les quartiles. Calculer $\frac{N}{4}$ pour $Q_{1}$ : si le résultat n'est pas entier, prendre la valeur au rang immédiatement supérieur ; s'il est entier, prendre la valeur à ce rang. Procéder de même avec $\frac{3 N}{4}$ pour $Q_{3}$ . Toujours travailler sur la série ordonnée.
Lire un diagramme en boîte. Repérer les bornes de la boîte ( $Q_{1}$ et $Q_{3}$ ), le trait intérieur (médiane $M e$ ) et les extrémités des moustaches (minimum et maximum). En déduire l'étendue ( $max - min$ ) et l'écart interquartile ( $Q_{3} - Q_{1}$ ) pour décrire la dispersion.

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