Mémento Le second degré — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Le trinôme du second degré

On appelle trinôme du second degré toute fonction définie sur $R$ par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ . Les réels $a$ , $b$ et $c$ sont les coefficients. Par exemple, $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ est un trinôme avec $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ .

La forme développée

La forme développée $a x^{2} + b x + c$ est la forme « ordinaire ». Elle est pratique pour lire le coefficient $a$ (orientation de la parabole) et l'ordonnée à l'origine $c = f (0)$ .

La forme canonique

Tout trinôme s'écrit de façon unique sous forme canonique : $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ où $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β = f (α)$ . Cette forme met en évidence le sommet $S (α; β)$ et l'axe de symétrie. Exemple : $x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2)^{2} + 3$ .

La forme factorisée

Lorsque le trinôme admet des racines, on peut l'écrire sous forme factorisée. Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Si la racine $x_{0}$ est double : $f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ . Cette forme est idéale pour résoudre $f (x) = 0$ .

Le discriminant $Δ$

Le discriminant du trinôme $a x^{2} + b x + c$ est le nombre $Δ = b^{2} - 4 a c .$ Son signe détermine entièrement le nombre de racines réelles. C'est l'outil central de tout le chapitre.

Les racines du trinôme

Les solutions de l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ dépendent du signe de $Δ$ :

Si $Δ > 0$ : deux racines distinctes $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle.

🔑 Formules clés à retenir

Discriminant : $Δ = b^{2} - 4 a c$
Deux racines ( $Δ > 0$ ) : $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
Racine double ( $Δ = 0$ ) : $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
Forme canonique : $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ avec $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β = f (α) = - \frac{Δ}{4 a}$
Forme factorisée : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Somme des racines : $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
Produit des racines : $P = x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$
Sommet de la parabole : $S (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Signe de $a$ : si $a > 0$ la parabole est tournée vers le haut (sommet = minimum) ; si $a < 0$ elle est tournée vers le bas (sommet = maximum).
Cas $Δ = 0$ : la parabole est tangente à l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Cas $Δ < 0$ : la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses ; le trinôme garde un signe constant, celui de $a$ .
Astuce racines évidentes : si $a + b + c = 0$ , alors $1$ est racine et l'autre racine vaut $\frac{c}{a}$ .
Erreur fréquente : oublier le facteur $a$ dans la forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Erreur fréquente : se tromper de signe au numérateur, $- b$ et non $b$ , dans la formule des racines.
Erreur fréquente : confondre « entre les racines » et « à l'extérieur » dans le tableau de signes ; retenir : signe de $a$ à l'extérieur.
Vérification rapide : contrôler les racines avec $S = - \frac{b}{a}$ et $P = \frac{c}{a}$ .

🎯 Méthodes de résolution

Résoudre $a x^{2} + b x + c = 0$ . Identifier $a$ , $b$ , $c$ (vérifier $a \neq = 0$ ). Calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Selon le signe de $Δ$ : si $Δ > 0$ , écrire $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ ; si $Δ = 0$ , donner $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ ; si $Δ < 0$ , conclure $S = \emptyset$ .
Étudier le signe du trinôme. Calculer $Δ$ et chercher les racines. Tracer un tableau de signes. Règle : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $- a$ entre les racines. Si $Δ = 0$ , le trinôme est du signe de $a$ partout (sauf en $x_{0}$ ). Si $Δ < 0$ , il est du signe de $a$ sur tout $R$ .
Mettre sous forme canonique. Calculer $α = - \frac{b}{2 a}$ , puis $β = f (α)$ . Écrire $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ . Vérifier en développant. Exemple : pour $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ , $α = 3$ , $β = f (3) = - 4$ , donc $f (x) = (x - 3)^{2} - 4$ .
Résoudre une inéquation du type $a x^{2} + b x + c > 0$ . Faire le tableau de signes (méthode 2), puis lire l'ensemble des $x$ qui vérifient l'inégalité demandée.

✏️

Exercices corrigés

S'entraîner sur ce chapitre

📄

Annales du bac

Sujets corrigés 2022–2024

📋

Autres mémentos

Tous les chapitres