Mémento Produit scalaire dans le plan — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Définition par le projeté orthogonal

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs. Si $v^{'}$ est le projeté orthogonal de $v$ sur la direction de $u$ , alors $u \cdot v = u \cdot v^{'}$ . Le produit scalaire est un nombre réel (un scalaire), pas un vecteur.

Définition avec la norme et le cosinus

Si $u$ et $v$ sont non nuls et $θ$ l'angle entre eux : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)$ . Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut $0$ .

Exemple : si $∥ u ∥ = 3$ , $∥ v ∥ = 2$ et $θ = 60°$ , alors $u \cdot v = 3 \times 2 \times cos (60°) = 6 \times \frac{1}{2} = 3$ .

Définition avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , alors $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .

Exemple : $u (2; - 1)$ et $v (3; 4)$ donnent $u \cdot v = 2 \times 3 + (- 1) \times 4 = 6 - 4 = 2$ .

Propriété de symétrie

Le produit scalaire est commutatif : $u \cdot v = v \cdot u$ . L'ordre des vecteurs n'a aucune importance.

Bilinéarité

Le produit scalaire est linéaire par rapport à chaque vecteur : pour tout réel $k$ , $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ et $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ . On peut donc développer comme avec une multiplication.

Norme et carré scalaire

Le carré scalaire de $u$ est $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ , noté aussi $u^{2}$ . Ainsi $∥ u ∥ = u \cdot u$ . En coordonnées, $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ .

Identités remarquables

Comme pour les nombres : $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ . On en déduit la formule de polarisation : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ .

Orthogonalité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si $u \cdot v = 0$ . Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

Exemple : $u (2; 3)$ et $v (- 3; 2)$ sont orthogonaux car $2 \times (- 3) + 3 \times 2 = 0$ .

Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $A B C$ , en notant $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$ . C'est la généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques.

Application : équation de droite et vecteur normal

Un vecteur $n (a; b)$ est normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . La droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ et de vecteur normal $n (a; b)$ a une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ .

Application : calcul d'angles et de longueurs

De $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (θ)$ on tire $cos (θ) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ , ce qui donne l'angle entre deux vecteurs. Al-Kashi permet de calculer une longueur manquante dans un triangle.

🔑 Formules clés à retenir

Projeté orthogonal : $u \cdot v = u \cdot v^{'}$
Norme et cosinus : $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)$
Coordonnées (repère orthonormé) : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$
Carré scalaire : $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$
Polarisation : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$
Orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$
Cosinus de l'angle : $cos (θ) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur : ne pas écrire $u \cdot v$ avec une flèche au résultat.
La formule $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ n'est valable QUE dans un repère orthonormé.
Attention aux signes dans Al-Kashi : c'est $- 2 b c cos (A)$ (signe moins) ; avec $A = 90°$ , $cos = 0$ et on retrouve Pythagore.
Un produit scalaire négatif signifie un angle obtus ( $θ > 90°$ ) ; positif, un angle aigu.
Ne pas confondre $u \cdot v = 0$ (orthogonalité) avec $u + v = 0$ (vecteurs opposés).
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ et non $∥ u ∥$ : ne pas oublier le carré.
Un vecteur normal $n (a; b)$ se lit directement sur l'équation $a x + b y + c = 0$ ; le vecteur directeur est alors $(- b; a)$ .

🎯 Méthodes de résolution

Calculer un produit scalaire. En repère orthonormé : déterminer les coordonnées de $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , puis appliquer $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ . Si on connaît les normes et l'angle, utiliser $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (θ)$ .
Montrer une orthogonalité. Calculer le produit scalaire $u \cdot v$ avec $x x^{'} + y y^{'}$ . Conclure : si le résultat vaut $0$ , les vecteurs (et donc les droites correspondantes) sont orthogonaux.
Trouver l'équation d'une droite de vecteur normal donné. Si $n (a; b)$ est normal à $d$ , l'équation s'écrit $a x + b y + c = 0$ . Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point connu $A$ de $d$ pour déterminer $c$ , puis écrire l'équation finale.

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