Mémento Probabilités conditionnelles et variables aléatoires — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P (B) \neq = 0$ . La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est le nombre $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . Elle mesure la probabilité de $A$ en se restreignant à l'univers où $B$ est réalisé. On en déduit la formule des probabilités composées : $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

Exemple. Dans une urne, si $P (B) = 0, 4$ et $P (A \cap B) = 0, 1$ , alors $P_{B} (A) = \frac{0 , 1}{0 , 4} = 0, 25$ .

2. Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité : à la première étape ce sont des probabilités simples, ensuite des probabilités conditionnelles. Règles : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long du chemin ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

3. Partition et formule des probabilités totales

Les événements $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et de réunion l'univers (avec $P (B_{i}) \neq = 0$ ). Pour tout événement $A$ : $P (A) = i = 1 \sum n P (A \cap B_{i}) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P_{B_{i}} (A)$ . Le cas le plus fréquent utilise la partition ${B, \overline{B}}$ : $P (A) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$ . Cette formule revient à additionner toutes les branches de l'arbre qui mènent à $A$ .

4. Probabilités conditionnelles inverses (formule de Bayes)

Lorsqu'on connaît $A$ et qu'on cherche la cause $B$ , on remonte l'arbre : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{P ( B ) P _{B} ( A )}{P ( A )}$ , le dénominateur $P (A)$ étant calculé par les probabilités totales. Exemple (test). Si $1%$ de la population est malade, le test détecte $99%$ des malades et donne $5%$ de faux positifs, la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif reste modeste, car les faux positifs sont nombreux.

5. Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . De façon équivalente, si $P (B) \neq = 0$ : $P_{B} (A) = P (A)$ , c'est-à-dire que savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$ . Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi.

6. Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue de l'univers un nombre réel. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur $x_{i}$ prise par $X$ , la probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ . Ces probabilités vérifient $p_{i} ⩾ 0$ et $i \sum p_{i} = 1$ . On la présente souvent dans un tableau valeurs / probabilités.

7. Espérance, variance, écart-type

L'espérance $E (X) = i \sum x_{i} p_{i}$ est la valeur moyenne attendue de $X$ sur un grand nombre de répétitions. La variance $V (X) = i \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ mesure la dispersion autour de la moyenne. L'écart-type $σ (X) = V (X)$ s'exprime dans la même unité que $X$ . Linéarité : $E (a X + b) = a E (X) + b$ et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .

8. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ n'a que deux issues : succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1 - p$ ). Répéter $n$ fois cette épreuve de façon identique et indépendante constitue un schéma de Bernoulli. La variable $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $B (n, p)$ : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , pour $k \in {0, 1, \dots, n}$ .

9. Coefficient binomial, espérance et variance

Le coefficient binomial $(k n)$ compte le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès parmi $n$ répétitions ; il se lit dans le triangle de Pascal et vérifie $(k n) = (n - k n)$ . Pour $X$ suivant $B (n, p)$ : espérance $E (X) = n p$ , variance $V (X) = n p (1 - p)$ , écart-type $σ (X) = n p (1 - p)$ .

10. Échantillon

Un échantillon de taille $n$ est la liste des $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi obtenues en répétant $n$ fois une expérience. La moyenne empirique $M_{n} = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{n}}{n}$ est elle-même une variable aléatoire, dont l'espérance est $E (M_{n}) = E (X)$ et la variance $V (M_{n}) = \frac{V ( X )}{n}$ : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est concentrée autour de $E (X)$ .

11. Concentration : inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable aléatoire $X$ d'espérance $E (X)$ et de variance $V (X)$ , et tout réel $δ > 0$ : $P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{V ( X )}{δ ^{2}}$ . Appliquée à la moyenne $M_{n}$ , elle donne l'inégalité de concentration $P (∣ M_{n} - E (X) ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{V ( X )}{n δ ^{2}}$ , qui tend vers $0$ quand $n \to + \infty$ .

12. Loi des grands nombres

La loi (faible) des grands nombres en découle : pour tout $δ > 0$ , $n \to + \infty lim P (∣ M_{n} - E (X) ∣ ⩾ δ) = 0$ . Autrement dit, la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance théorique. C'est le fondement de l'estimation statistique : la fréquence observée d'un succès converge vers sa probabilité $p$ .

🔑 Formules clés à retenir

Probabilité conditionnelle : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ (avec $P (B) \neq = 0$ )
Probabilités composées : $P (A \cap B) = P (B) P_{B} (A)$
Probabilités totales : $P (A) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P_{B_{i}} (A)$ , en particulier $P (A) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$
Bayes : $P_{A} (B) = \frac{P ( B ) P _{B} ( A )}{P ( A )}$
Indépendance : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$
Espérance : $E (X) = i \sum x_{i} p_{i}$
Variance : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ ; écart-type : $σ (X) = V (X)$
Loi binomiale $B (n, p)$ : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$
Bienaymé-Tchebychev : $P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{V ( X )}{δ ^{2}}$

💡 Astuces & erreurs à éviter

$P_{B} (A) \neq = P_{A} (B)$ : ne jamais confondre « la probabilité de $A$ sachant $B$ » et son inverse. Le dénominateur change ( $P (B)$ contre $P (A)$ ).
Indépendance $\neq =$ incompatibilité. Deux événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l'un se réalise, l'autre est impossible, donc se savoir l'un change tout. Indépendant veut dire $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ , et non $P (A \cap B) = 0$ .
Vérifier l'indépendance par le calcul, pas à l'intuition : comparer $P (A \cap B)$ à $P (A) \times P (B)$ .
Somme des branches = 1 à chaque nœud : une erreur de complément ( $1 - p$ ) fausse tout l'arbre.
Coefficient binomial : ne pas oublier le $(k n)$ , qui compte les ordres possibles. Écrire seulement $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ est l'erreur la plus fréquente.
Espérance vs réalisation : $E (X) = n p$ est une moyenne théorique, pas une valeur forcément atteinte (avec $n = 10$ , $p = 0, 5$ , $E (X) = 5$ mais $X$ peut valoir $3$ ).
Variance : bien utiliser $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ et non $E (X^{2}) - E (X)$ ; ne pas oublier le carré.
Bienaymé-Tchebychev donne une majoration souvent large : si elle dépasse $1$ , l'information $P (\dots) ⩽ 1$ est triviale et inutile.

🎯 Méthodes de résolution

Construire et exploiter un arbre pondéré. Identifier la première étape (événement $B$ et son contraire $\overline{B}$ ) et placer $P (B)$ , $P (\overline{B})$ sur les premières branches. Sur les branches suivantes, écrire les probabilités conditionnelles $P_{B} (A)$ , $P_{\overline{B}} (A)$ . Vérifier que la somme des branches issues d'un nœud vaut $1$ . Multiplier le long d'un chemin pour une intersection : $P (B \cap A) = P (B) P_{B} (A)$ .
Appliquer les probabilités totales. Choisir une partition ${B, \overline{B}}$ (ou $B_{1}, \dots, B_{n}$ ). Repérer tous les chemins menant à $A$ . Additionner leurs probabilités : $P (A) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$ .
Utiliser Bayes (remonter l'arbre). Pour trouver $P_{A} (B)$ alors que l'arbre donne $P_{B} (A)$ : calculer d'abord $P (A \cap B) = P (B) P_{B} (A)$ , puis $P (A)$ par les probabilités totales, enfin diviser : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .
Reconnaître une loi binomiale. Vérifier les 4 conditions : (1) répétition de $n$ épreuves, (2) chaque épreuve à deux issues (succès / échec), (3) même probabilité $p$ de succès, (4) répétitions indépendantes. Alors $X$ = nombre de succès suit $B (n, p)$ .
Calculer avec la loi binomiale. Pour une valeur exacte : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Pour des inégalités : $P (X ⩽ k)$ ou $P (X ⩾ k)$ via la calculatrice/tableur, en pensant à l'événement contraire $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ . Donner $E (X) = n p$ et $σ (X) = n p (1 - p)$ .
Étudier un échantillon. Poser $M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ , calculer $E (M_{n}) = E (X)$ et $V (M_{n}) = \frac{V ( X )}{n}$ , puis majorer un écart avec Bienaymé-Tchebychev pour estimer une taille $n$ garantissant une précision donnée.

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