Mémento Probabilités — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir avec certitude lequel se produira. Exemple : lancer un dé, tirer une carte, lancer une pièce.

2. Issues

Les issues (ou résultats, ou éventualités) sont les différents résultats possibles d'une expérience aléatoire. Exemple : pour le lancer d'un dé, les issues sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .

3. Univers

L'univers, noté $Ω$ , est l'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire. Pour le dé : $Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Le nombre d'issues est ici $6$ .

4. Événement

Un événement est un sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire une partie des issues. Exemple : « obtenir un nombre pair » est l'événement $A = {2; 4; 6}$ . Une issue qui réalise un événement est dite favorable.

5. Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure sa chance de se réaliser. On la note $P (A)$ . Un événement impossible a une probabilité de $0$ , un événement certain a une probabilité de $1$ .

6. Loi de probabilité

Définir une loi de probabilité sur un univers, c'est associer à chaque issue une probabilité. La somme de toutes les probabilités des issues est toujours égale à $1$ . Exemple : pour une pièce, $P (Pile) + P (Face) = 1$ .

7. Équiprobabilité

Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire. Si l'univers a $n$ issues, chacune a alors une probabilité de $\frac{1}{n}$ . On parle de situation d'équiprobabilité pour un dé ou une pièce équilibrés.

8. Calcul en situation d'équiprobabilité

En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ se calcule par : $P (A) = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues possibles}$ . Exemple : « obtenir un nombre pair » avec un dé : $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

9. Événement contraire

L'événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est l'événement qui se réalise lorsque $A$ ne se réalise pas. On a toujours : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ . Exemple : si $P (A) = \frac{1}{4}$ , alors $P (\overline{A}) = \frac{3}{4}$ .

10. Réunion et intersection

La réunion de deux événements $A$ et $B$ , notée $A \cup B$ , est l'événement « $A$ ou $B$ » (au moins l'un des deux). L'intersection, notée $A \cap B$ , est l'événement « $A$ et $B$ » (les deux en même temps).

11. Formule de la réunion

Pour tous événements $A$ et $B$ : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$ On retranche $P (A \cap B)$ pour ne pas compter deux fois les issues communes à $A$ et $B$ .

12. Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : $A \cap B = \emptyset$ et $P (A \cap B) = 0$ . Dans ce cas, la formule devient simplement $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

13. Dénombrement par arbre ou tableau

Pour dénombrer les issues d'une expérience à plusieurs étapes, on utilise un arbre ou un tableau à double entrée. Exemple : lancer deux pièces donne $4$ issues : PP, PF, FP, FF. On compte alors les issues favorables.

🔑 Formules clés à retenir

Probabilité : $0 \leq P (A) \leq 1$
Somme des probabilités des issues : $P (e_{1}) + P (e_{2}) + \dots + P (e_{n}) = 1$
Équiprobabilité ( $n$ issues) : chaque issue a pour probabilité $\frac{1}{n}$
En équiprobabilité : $P (A) = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$
Événement contraire : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
Réunion : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) : $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
Événement impossible : $P (\emptyset) = 0$ ; événement certain : $P (Ω) = 1$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Incompatibles $\neq =$ contraires. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble ( $A \cap B = \emptyset$ ), mais il peut exister une troisième possibilité. Deux événements contraires sont incompatibles ET recouvrent tout l'univers : $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ . Tous les contraires sont incompatibles, mais l'inverse est faux.
Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : un résultat négatif ou supérieur à $1$ signale une erreur de calcul.
Ne pas oublier de retrancher $P (A \cap B)$ dans la formule de la réunion : sinon les issues communes sont comptées deux fois.
« au moins un » : penser presque toujours à l'événement contraire « aucun ».
Vérifier l'équiprobabilité avant d'utiliser $\frac{favorables}{possibles}$ : avec un dé truqué, cette formule ne s'applique pas.
Pour une loi de probabilité, vérifier que la somme des probabilités vaut bien $1$ : c'est un contrôle rapide et efficace.

🎯 Méthodes de résolution

Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité. Étape 1 : vérifier que les issues sont équiprobables (dé, pièce, tirage « au hasard »). Étape 2 : déterminer le nombre total d'issues (cardinal de $Ω$ ). Étape 3 : compter le nombre d'issues favorables à l'événement $A$ . Étape 4 : appliquer $P (A) = \frac{favorables}{possibles}$ et simplifier la fraction. Exemple : probabilité de tirer un roi dans un jeu de $32$ cartes : $P = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .
Utiliser l'événement contraire. Quand l'énoncé contient « au moins un » ou que l'événement direct est long à dénombrer, on calcule plutôt $P (\overline{A})$ . Étape 1 : décrire précisément $\overline{A}$ . Étape 2 : calculer $P (\overline{A})$ . Étape 3 : conclure avec $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ . Exemple : « obtenir au moins un $6$ » se traite via le contraire « n'obtenir aucun $6$ ».
Utiliser la formule $P (A \cup B)$ . Étape 1 : repérer les deux événements $A$ et $B$ , et l'événement « ou » à calculer ( $A \cup B$ ). Étape 2 : calculer $P (A)$ , $P (B)$ et $P (A \cap B)$ (les issues communes). Étape 3 : appliquer $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Étape 4 : si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P (A \cap B) = 0$ et la formule se simplifie.

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