Mémento Probabilités conditionnelles — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Univers et événements

Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles appelé univers, noté $Ω$ . Un événement est un sous-ensemble de $Ω$ . Par exemple, en lançant un dé, $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ et « obtenir un nombre pair » est l'événement $A = {2, 4, 6}$ .

Réunion, intersection, événement contraire

Pour deux événements $A$ et $B$ : l'intersection $A \cap B$ est l'événement « $A$ et $B$ » ; la réunion $A \cup B$ est l'événement « $A$ ou $B$ ». L'événement contraire $\overline{A}$ se réalise quand $A$ ne se réalise pas, et $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$ . Dans ce cas $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Probabilité conditionnelle

Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ mesure la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ est déjà réalisé. On la note $P_{B} (A)$ et $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .$ Exemple : sachant qu'un élève tiré au sort est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit demi-pensionnaire ?

Probabilité d'une intersection

En réorganisant la définition, on obtient une formule très utile pour calculer la probabilité d'une intersection : $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A) = P (A) \times P_{A} (B) .$ C'est exactement ce que l'on lit sur une branche d'arbre.

Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes. Sur chaque branche on inscrit une probabilité : les premières branches portent les $P (B)$ , les branches secondaires portent les probabilités conditionnelles $P_{B} (A)$ .

Règles de l'arbre

Deux règles fondamentales : (1) la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ; (2) la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Ainsi le chemin $B$ puis $A$ donne $P (B) \times P_{B} (A) = P (A \cap B)$ .

Partition de l'univers

Des événements $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ forment une partition de $Ω$ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $Ω$ tout entier. Le cas le plus simple est le couple ${B, \overline{B}}$ .

Formule des probabilités totales

Si $B_{1}, \dots, B_{n}$ forment une partition de $Ω$ , alors pour tout événement $A$ : $P (A) = P (A \cap B_{1}) + \dots + P (A \cap B_{n}) .$ Avec la partition ${B, \overline{B}}$ : $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B})$ . Sur un arbre, cela revient à additionner les chemins qui mènent à $A$ .

Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .$ De façon équivalente (si $P (B) \neq = 0$ ), $P_{B} (A) = P (A)$ .

🔑 Formules clés à retenir

Probabilité conditionnelle : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ avec $P (B) \neq = 0$
Probabilité d'une intersection : $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A) = P (A) \times P_{A} (B)$
Probabilités totales (partition ${B, \overline{B}}$ ) : $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B}) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$
Probabilités totales (cas général) : si $B_{1}, \dots, B_{n}$ forment une partition, $P (A) = k = 1 \sum n P (A \cap B_{k})$
Indépendance : $A$ et $B$ indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B) ⟺ P_{B} (A) = P (A)$
Événement contraire : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
Réunion : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Indépendant $\neq =$ incompatible : ne pas confondre. Incompatibles signifie $A \cap B = \emptyset$ (impossibles ensemble). Indépendants signifie $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Sens du conditionnement : $P_{B} (A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$ ) n'est pas $P_{A} (B)$ . Attention à bien repérer ce qui est « déjà réalisé » : c'est l'événement écrit en indice.
Repère sur l'arbre : les probabilités des branches de second niveau sont des probabilités conditionnelles, pas $P (A)$ : la branche après $B$ porte $P_{B} (A)$ .
Multiplier puis additionner : on multiplie le long d'un chemin (intersection) et on additionne entre chemins menant au même événement (probabilités totales).
Vérification : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours faire $1$ ; sinon il y a une erreur.

🎯 Méthodes de résolution

Construire et lire un arbre pondéré. Choisir l'événement « de première étape » (souvent celui dont on connaît $P (B)$ et $P (\overline{B})$ ). Tracer les branches principales en y inscrivant $P (B)$ et $P (\overline{B})$ , puis les branches secondaires avec les probabilités conditionnelles $P_{B} (A)$ et $P_{\overline{B}} (A)$ . Vérifier que la somme des branches d'un même nœud vaut $1$ . La probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités le long du chemin : par exemple le chemin $B$ – $A$ donne $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ .
Appliquer la formule des probabilités totales. Repérer une partition de $Ω$ (par exemple ${B, \overline{B}}$ ). Sur l'arbre, identifier tous les chemins qui aboutissent à l'événement $A$ . Calculer la probabilité de chaque chemin (produit), puis additionner ces probabilités : $P (A) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$ . Cette méthode sert à « remonter » d'un arbre vers la probabilité d'un événement de seconde étape.
Tester l'indépendance de deux événements. Calculer séparément $P (A)$ , $P (B)$ et $P (A \cap B)$ . Comparer le produit $P (A) \times P (B)$ avec $P (A \cap B)$ . S'ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon ils ne le sont pas. On peut aussi comparer $P_{B} (A)$ et $P (A)$ : l'égalité caractérise l'indépendance.

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