Mémento Primitives et équations différentielles — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Définition d'une primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple : $F (x) = x^{2}$ est une primitive de $f (x) = 2 x$ sur $R$ , car $F^{'} (x) = 2 x$ . La fonction $G (x) = x^{2} + 5$ en est aussi une.

Théorème : toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

2. Primitives et constante

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont toutes les fonctions de la forme $x \mapsto F (x) + k$ , où $k$ est une constante réelle.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc d'une constante. Il existe une infinité de primitives, mais elles partagent toutes la même dérivée $f$ .

3. Primitives usuelles

On lit le tableau des dérivées « à l'envers ». Pour $n \neq = - 1$ , une primitive de $x^{n}$ est $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ . Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ est $ln (x)$ , une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ .

Exemple : une primitive de $f (x) = x^{3}$ est $F (x) = \frac{x ^{4}}{4}$ , car $F^{'} (x) = \frac{4 x ^{3}}{4} = x^{3}$ .

4. Primitives de la forme $u^{'} u^{n}$

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $n \neq = - 1$ , alors une primitive de $u^{'} u^{n}$ est $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ .

Exemple : pour $f (x) = 2 x (x^{2} + 1)^{3}$ , on pose $u = x^{2} + 1$ donc $u^{'} = 2 x$ : on reconnaît $u^{'} u^{3}$ , une primitive est $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4}$ .

5. Primitives de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ , alors une primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ est $ln (u)$ .

Exemple : pour $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , on a $u = x^{2} + 1 > 0$ et $u^{'} = 2 x$ : une primitive est $ln (x^{2} + 1)$ .

6. Primitives de la forme $u^{'} e^{u}$

Si $u$ est dérivable sur $I$ , alors une primitive de $u^{'} e^{u}$ est $e^{u}$ .

Exemple : pour $f (x) = 2 x e^{x^{2}}$ , on a $u = x^{2}$ et $u^{'} = 2 x$ : une primitive est $e^{x^{2}}$ .

7. Équations différentielles $y^{'} = a y$

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à sa (ou ses) dérivée(s).

Théorème : les solutions sur $R$ de l'équation $y^{'} = a y$ (avec $a$ réel) sont les fonctions $x \mapsto C e^{a x}$ , où $C$ est une constante réelle.

Exemple : les solutions de $y^{'} = 3 y$ sont $x \mapsto C e^{3 x}$ . On vérifie que $y^{'} = 3 C e^{3 x} = 3 y$ .

8. Équations différentielles $y^{'} = a y + b$

Soit $a \neq = 0$ et $b$ deux réels. Les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , où $C \in R$ .

La constante $- \frac{b}{a}$ est la solution particulière constante : elle vérifie $y^{'} = 0$ donc $0 = a y + b$ , soit $y = - \frac{b}{a}$ .

9. Problème de Cauchy et condition initiale

Un problème de Cauchy est la donnée d'une équation différentielle accompagnée d'une condition initiale du type $y (x_{0}) = y_{0}$ . Cette condition fixe la valeur de la constante $C$ : la solution devient alors unique.

Exemple : résoudre $y^{'} = 2 y$ avec $y (0) = 5$ . Les solutions sont $y = C e^{2 x}$ ; la condition $y (0) = C = 5$ donne la solution unique $y = 5 e^{2 x}$ .

10. Modélisation

Les équations $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ modélisent de nombreux phénomènes d'évolution : croissance ou décroissance d'une population, désintégration radioactive ( $a < 0$ ), refroidissement d'un corps (loi de Newton), charge d'un condensateur.

L'interprétation $y^{'} = a y$ signifie que la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. Le signe de $a$ donne le sens d'évolution : $a > 0$ croissance exponentielle, $a < 0$ décroissance vers une limite.

🔑 Formules clés à retenir

Primitive : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F^{'} = f$ .
Constante : les primitives de $f$ sont les $F (x) + k$ , $k \in R$ .
$f (x) = a$ (constante) $\Rightarrow F (x) = a x$ .
$f (x) = x^{n}$ , $n \neq = - 1 \Rightarrow F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ .
$f (x) = \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [\Rightarrow F (x) = ln (x)$ .
$f (x) = \frac{1}{x ^{2}} \Rightarrow F (x) = - \frac{1}{x}$ .
$f (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow F (x) = 2 x$ .
$f (x) = e^{x} \Rightarrow F (x) = e^{x}$ ; $f (x) = e^{a x} \Rightarrow F (x) = \frac{1}{a} e^{a x}$ .
$f (x) = cos (x) \Rightarrow F (x) = sin (x)$ ; $f (x) = sin (x) \Rightarrow F (x) = - cos (x)$ .
Forme $u^{'} u^{n}$ ( $n \neq = - 1$ ) $\Rightarrow \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ .
Forme $\frac{u ^{'}}{u}$ ( $u > 0$ ) $\Rightarrow ln (u)$ .
Forme $u^{'} e^{u}$ $\Rightarrow e^{u}$ .
Forme $\frac{u ^{'}}{u}$ ( $u > 0$ ) $\Rightarrow 2 u$ .
$y^{'} = a y$ : solutions $y (x) = C e^{a x}$ , $C \in R$ .
$y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ ) : solutions $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , $C \in R$ .
Condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ : détermine $C$ de façon unique.

💡 Astuces & erreurs à éviter

Ne jamais oublier la constante $+ k$ quand on cherche « les » primitives (ensemble), même si une primitive particulière suffit pour un calcul d'intégrale.
La forme $\frac{u ^{'}}{u}$ exige $u > 0$ pour donner $ln (u)$ . Si $u$ peut être négative, la primitive est $ln (∣ u ∣)$ sur l'intervalle considéré.
Cas $n = - 1$ à part : la formule $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ne marche pas pour $n = - 1$ (division par $0$ ). La primitive de $\frac{1}{x}$ est $ln$ , pas une puissance.
Attention au signe de $a$ dans $y^{'} = a y$ : $a > 0$ donne une croissance ( $e^{a x} \to + \infty$ ), $a < 0$ une décroissance vers $0$ . Une erreur de signe inverse tout le comportement.
Solution particulière de $y^{'} = a y + b$ : c'est $- \frac{b}{a}$ (avec le signe moins), pas $\frac{b}{a}$ . La retrouver via $0 = a y + b$ évite l'erreur de signe.
Déterminer $C$ après avoir écrit la solution complète avec son terme constant : appliquer la condition initiale à $y (x)$ tout entier, sans oublier le $- \frac{b}{a}$ .
Vérifier la dérivée : le réflexe « je dérive ma réponse » détecte presque toutes les erreurs de primitive.
Coefficient de $e^{a x}$ : une primitive de $e^{a x}$ est $\frac{1}{a} e^{a x}$ et non $e^{a x}$ ; oublier le $\frac{1}{a}$ est une faute classique.

🎯 Méthodes de résolution

Calculer une primitive d'une somme : on primitive terme à terme en utilisant le tableau des primitives usuelles, puis on ajoute la constante $+ k$ . Exemple : pour $f (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$ , on obtient $F (x) = x^{4} - x^{2} + x + k$ .
Reconnaître une forme $u^{'} \times \dots$ : repérer une fonction « interne » $u$ et vérifier que le reste est (à un facteur constant près) sa dérivée $u^{'}$ . Identifier alors la forme : $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ ou $u^{'} e^{u}$ , et écrire la primitive correspondante.
Ajuster le facteur constant : si $u^{'}$ n'apparaît qu'à un coefficient près, on multiplie/divise par une constante. Exemple : pour $x e^{x^{2}}$ , $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ ; on écrit $x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} (2 x) e^{x^{2}}$ , d'où $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ .
Vérifier systématiquement : dériver $F$ et contrôler que $F^{'} (x) = f (x)$ .
Résoudre $y^{'} = a y$ : écrire directement la solution générale $y (x) = C e^{a x}$ .
Résoudre $y^{'} = a y + b$ avec condition initiale : (a) écrire la solution générale $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ ; (b) remplacer $x$ par $x_{0}$ et $y$ par $y_{0}$ dans cette expression ; (c) résoudre l'équation obtenue pour trouver $C$ ; (d) écrire la solution unique. Exemple : $y^{'} = - 2 y + 6$ , $y (0) = 1$ . Solution générale $y = C e^{- 2 x} + 3$ ; $y (0) = C + 3 = 1$ donc $C = - 2$ ; d'où $y (x) = - 2 e^{- 2 x} + 3$ .
Modéliser : traduire « la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité » par $y^{'} = a y$ , ajouter un terme constant si un apport/perte fixe intervient ( $y^{'} = a y + b$ ), puis utiliser la condition initiale issue de l'énoncé.

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