Fonction logarithme népérien

1. Définition : la fonction réciproque de l'exponentielle

La fonction exponentielle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0;+\infty [$. Sa fonction réciproque s'appelle la fonction logarithme népérien, notée $\ln$. Ainsi, pour tout réel $x>0$ et tout réel $y$ : $\ln (x)=y⟺x=e^y$.

On en déduit immédiatement les égalités fondamentales : pour tout $x>0$, $e^{\ln (x)}=x$, et pour tout réel $x$, $\ln (e^x)=x$. En particulier $\ln (1)=0$ et $\ln (e)=1$.

2. Domaine de définition

La fonction $\ln$ est définie uniquement sur $]0;+\infty [$. Un logarithme n'existe que pour un nombre strictement positif. Toute écriture $\ln (u)$ impose la condition d'existence $u>0$.

3. La propriété fonctionnelle : ln(ab)

C'est la propriété centrale, dite relation fonctionnelle : pour tous réels $a>0$ et $b>0$,

$$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b).$$

Le logarithme transforme un produit en somme. Exemple : $\ln (6)=\ln (2\times 3)=\ln (2)+\ln (3)$.

4. Quotient, puissance, racine

De la relation fonctionnelle découlent, pour $a>0$, $b>0$ et $n\in \mathbb{Z}$ :

$$\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b),\ln \left(\frac{1}{b}\right)=-\ln (b),$$

$$\ln (a^n)=n\ln (a),\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln (a).$$

Exemple : $\ln (8)=\ln (2^3)=3\ln (2)$ et $\ln (\sqrt{5})=\frac{1}{2}\ln (5)$.

5. Dérivée

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et

$${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}.$$

Plus généralement, si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$. Exemple : la dérivée de $\ln (x^2+1)$ est $\frac{2x}{x^2+1}$.

6. Sens de variation

Comme $\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine. On en déduit deux équivalences très utiles, pour $a>0$ et $b>0$ :

$$\ln (a)=\ln (b)⟺a=b,\ln (a)<\ln (b)⟺a<b.$$

7. Limites aux bornes

Aux extrémités du domaine :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (x)=+\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\infty .$$

La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe.

8. Courbe représentative

La courbe de $\ln$ est la symétrique de celle de $\exp$ par rapport à la première bissectrice $y=x$. Elle passe par les points $(1;0)$ et $(e;1)$. La tangente au point $(1;0)$ a pour équation $y=x-1$, ce qui donne l'encadrement classique $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.

9. Croissances comparées

L'exponentielle l'emporte sur les puissances, donc le logarithme est « écrasé » par elles :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)=0.$$

Plus généralement, pour tout entier $n\ge 1$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^n}=0$. Ces résultats servent à lever des formes indéterminées $\frac{\infty }{\infty }$ ou $0\times \infty$.

10. Équations avec ln

Pour résoudre $\ln (u(x))=k$, on utilise l'équivalence $\ln (u)=k⟺u=e^k$ (après avoir posé la condition $u>0$). Exemple : $\ln (x)=2⟺x=e^2$. Pour $\ln (A)=\ln (B)$, on résout $A=B$ avec $A>0$ et $B>0$.

11. Inéquations avec ln

La stricte croissance permet de « retirer » le $\ln$ en conservant le sens : $\ln (A)<\ln (B)⟺A<B$ (sur le domaine). Il faut toujours commencer par déterminer l'ensemble des $x$ où les expressions sont définies, puis intersecter avec les solutions trouvées.

12. Lien avec l'exponentielle

$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : leurs courbes sont symétriques par rapport à $y=x$, et l'une « défait » l'autre. C'est ce lien qui permet de passer d'une équation en $e^x$ à une équation en $\ln$, et inversement, par exemple pour résoudre $a^x=b$ via $x\ln (a)=\ln (b)$.