Limites de fonctions et continuité

1. Limite d'une fonction en l'infini

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[a;+\infty [$. On dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$, et on note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, noté $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, lorsque tout intervalle $]A;+\infty [$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. Par exemple, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$.

Une limite peut ne pas exister : c'est le cas de $\cos x$ ou $\sin x$ en $+\infty$, qui oscillent sans se stabiliser.

2. Limite d'une fonction en un réel

Soit $a$ un réel. On dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $a$, noté $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$, lorsque $f(x)$ devient aussi proche de $\ell$ que l'on veut dès que $x$ est suffisamment proche de $a$. Lorsque $f(x)$ tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$) quand $x$ se rapproche de $a$, on parle de limite infinie en un réel : par exemple $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$.

On distingue souvent la limite à gauche ($x\to a^{-}$) et la limite à droite ($x\to a^{+}$). La limite en $a$ existe seulement si ces deux limites latérales existent et sont égales.

3. Asymptotes

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ (ou en $-\infty$), la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$. Si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$, la droite verticale $x=a$ est asymptote verticale. Enfin, si $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-(mx+p))=0$, la droite $y=mx+p$ est asymptote oblique. Par exemple, $f(x)=x+\frac{1}{x}$ admet l'asymptote oblique $y=x$ en $\pm \infty$.

4. Opérations sur les limites

Les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se calculent à partir des limites des termes, à condition d'éviter les cas indéterminés. Pour la somme : si $\lim f=\ell$ et $\lim g={\ell }^{\prime }$, alors $\lim (f+g)=\ell +{\ell }^{\prime }$. Pour le produit, $\lim (fg)=\ell \times {\ell }^{\prime }$. Pour le quotient, $\lim \frac{f}{g}=\frac{\ell }{{\ell }^{\prime }}$ si ${\ell }^{\prime }\ne 0$. Les règles s'étendent aux limites infinies avec la « règle des signes » habituelle (ex. $\ell >0$ et $\lim g=+\infty$ donne $\lim (fg)=+\infty$).

5. Limite d'une fonction composée et théorèmes de comparaison

Si $\underset{x\to a}{\lim }u(x)=b$ et $\underset{X\to b}{\lim }v(X)=\ell$, alors $\underset{x\to a}{\lim }v(u(x))=\ell$. Théorème de comparaison : si $f(x)⩾g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et $\lim g=+\infty$, alors $\lim f=+\infty$. Théorème des gendarmes (encadrement) : si $g(x)⩽f(x)⩽h(x)$ et $\lim g=\lim h=\ell$, alors $\lim f=\ell$. Exemple : $-\frac{1}{x}⩽\frac{\sin x}{x}⩽\frac{1}{x}$ donne $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$.

6. Formes indéterminées et techniques pour les lever

Les quatre formes indéterminées (FI) sont $+\infty -\infty$, $0\times \infty$, $\frac{\infty }{\infty }$ et $\frac{0}{0}$. On ne peut pas conclure directement : il faut transformer l'expression. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $\pm \infty$, on factorise par le terme de plus haut degré : $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^2-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2(1-\frac{1}{x})=+\infty$. Pour une FI $\frac{0}{0}$ en un réel, on factorise numérateur et dénominateur ou on utilise la quantité conjuguée avec des racines : $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$, de limite $\frac{1}{4}$ en $4$.

7. Croissances comparées

En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme. Pour tout entier $n⩾1$ : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$. De même $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$. Ces résultats permettent de lever de nombreuses FI mêlant $e^x$, $\ln x$ et des puissances.

8. Continuité en un point et sur un intervalle

Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsque $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$. Elle est continue sur un intervalle $I$ si elle l'est en chaque point de $I$. Intuitivement, on trace sa courbe « sans lever le crayon ». Toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ (la réciproque est fausse : $x\mapsto |x|$ est continue mais non dérivable en $0$). Les fonctions polynômes, rationnelles, racine, $\exp$, $\ln$, $\cos$, $\sin$ sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées.

9. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème : si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$. En particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a;b]$. Ce théorème prouve l'existence d'une solution, pas son unicité.

10. Corollaire (théorème de la bijection)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$. Le théorème s'étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes. C'est l'outil pour justifier qu'une équation possède une solution unique, qu'on encadre ensuite par balayage ou dichotomie.

11. Continuité et suites définies par $u_{n+1}=f(u_n)$

Pour une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ vérifie l'équation de point fixe $f(\ell )=\ell$. En effet, en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ et par continuité, $\ell =f(\ell )$. Attention : ce résultat suppose la convergence déjà établie (par exemple via le théorème de la limite monotone) ; il ne la démontre pas à lui seul.