Mémento Calcul intégral — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Intégrale et aire sous une courbe

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a; b]$ . L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ , notée $a \int b f (x) d x$ , est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x = a$ et $x = b$ .

Exemple : $0 \int 2 x d x = 2$ correspond à l'aire du triangle de sommets $(0; 0)$ , $(2; 0)$ et $(2; 2)$ .

2. Définition générale et signe

Pour une fonction continue de signe quelconque, on définit l'intégrale comme une aire algébrique : les portions situées au-dessus de l'axe des abscisses comptent positivement, celles situées en dessous comptent négativement. Ainsi, si $f \leq 0$ sur $[a; b]$ , alors $a \int b f (x) d x \leq 0$ .

Exemple : $- 1 \int 1 x d x = 0$ car les aires de part et d'autre de l'origine se compensent.

3. Lien fondamental entre intégrale et primitive

C'est le théorème fondamental de l'analyse. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a; b]$ (c'est-à-dire $F^{'} = f$ ), alors :

$a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, car deux primitives diffèrent d'une constante qui s'élimine dans la différence.

Exemple : $0 \int 1 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ .

4. Propriétés : linéarité

Pour toutes fonctions continues $f$ et $g$ et tous réels $λ$ et $μ$ :

$a \int b (λ f (x) + μg (x)) d x = λ a \int b f (x) d x + μ a \int b g (x) d x .$

Exemple : $0 \int 1 (3 x^{2} + 2 x) d x = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ .

5. Relation de Chasles

Pour tout réel $c$ (pas nécessairement entre $a$ et $b$ ), si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ et $c$ :

$a \int b f (x) d x = a \int c f (x) d x + c \int b f (x) d x .$

On a de plus $a \int a f (x) d x = 0$ et $b \int a f (x) d x = - a \int b f (x) d x$ .

6. Positivité et ordre (comparaison)

Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ avec $a \leq b$ , alors $a \int b f (x) d x \geq 0$ .

Ordre : si $f \leq g$ sur $[a; b]$ avec $a \leq b$ , alors $a \int b f (x) d x \leq a \int b g (x) d x$ . Cette comparaison permet d'encadrer une intégrale sans la calculer.

7. Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ (avec $a < b$ ) est le réel :

$μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x .$

Géométriquement, $μ$ est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe. Exemple : la valeur moyenne de $f (x) = x^{2}$ sur $[0; 1]$ est $\frac{1}{1 - 0} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ .

8. Intégration par parties (IPP)

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables à dérivées continues sur $[a; b]$ , alors :

$a \int b u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u^{'} (x) v (x) d x .$

L'IPP est utile lorsque l'intégrande est un produit (par exemple un polynôme par une exponentielle ou un logarithme). Exemple : $0 \int 1 x e^{x} d x$ avec $u = x$ , $v^{'} = e^{x}$ donne $[x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

9. Aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a; b]$ , l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut :

$A = a \int b (f (x) - g (x)) d x .$

On intègre toujours la différence courbe du haut moins courbe du bas, ce qui garantit un résultat positif. Exemple : entre $f (x) = 2 x$ et $g (x) = x$ sur $[0; 1]$ , $A = 0 \int 1 x d x = \frac{1}{2}$ .

10. Intégrale fonction de la borne supérieure

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction $F$ définie sur $I$ par :

$F (x) = a \int x f (t) d t$

est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ : on a $F^{'} (x) = f (x)$ et $F (a) = 0$ . Ce résultat justifie l'existence d'une primitive pour toute fonction continue.

11. Synthèse

Le calcul intégral repose sur un pont entre aire et primitive : connaître une primitive permet de calculer une aire, et réciproquement toute fonction continue admet une primitive donnée par une intégrale à borne variable. Linéarité, Chasles, positivité, ordre, valeur moyenne et IPP en sont les outils opératoires essentiels.

🔑 Formules clés à retenir

Définition (théorème fondamental) : si $F^{'} = f$ , alors $a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .
Linéarité : $a \int b (λ f + μg) (x) d x = λ a \int b f (x) d x + μ a \int b g (x) d x$ .
Relation de Chasles : $a \int b f = a \int c f + c \int b f$ , avec $a \int a f = 0$ et $b \int a f = - a \int b f$ .
Positivité : si $a \leq b$ et $f \geq 0$ , alors $a \int b f (x) d x \geq 0$ .
Ordre : si $a \leq b$ et $f \leq g$ , alors $a \int b f (x) d x \leq a \int b g (x) d x$ .
Valeur moyenne : $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
Intégration par parties : $a \int b u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u^{'} (x) v (x) d x$ .
Aire entre deux courbes (avec $f \geq g$ ) : $A = a \int b (f (x) - g (x)) d x$ .
Borne variable : $F (x) = a \int x f (t) d t$ vérifie $F^{'} (x) = f (x)$ et $F (a) = 0$ .

💡 Astuces & erreurs à éviter

Signe de l'aire : si $f < 0$ sur une partie de $[a; b]$ , l'intégrale y est négative. Pour obtenir une aire géométrique (toujours positive), il faut intégrer $∣ f ∣$ ou découper l'intervalle selon le signe de $f$ .
Sens des bornes : $b \int a f = - a \int b f$ . Les propriétés de positivité et d'ordre supposent $a \leq b$ : attention à ne pas les appliquer avec des bornes inversées.
Choix de $u$ et $v^{'}$ en IPP : on prend pour $u$ la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, $ln$ ) et pour $v^{'}$ celle qu'on sait facilement primitiver ( $e^{x}$ , $cos$ , $sin$ ). Un mauvais choix complique l'intégrale restante.
Ordre des courbes : pour une aire entre deux courbes, toujours faire haut moins bas ; si les courbes se croisent sur $[a; b]$ , découper en sous-intervalles où l'ordre est constant.
Continuité d'abord : toutes ces formules exigent $f$ continue sur $[a; b]$ . Vérifier l'absence de valeur interdite (par exemple $\frac{1}{x}$ n'est pas intégrable sur un intervalle contenant $0$ ).
Crochet bien posé : ne pas oublier de soustraire $F (a)$ : écrire systématiquement $[F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ , et faire attention aux signes lorsque $F (a)$ est négatif.
Valeur moyenne : ne pas confondre $μ$ avec $a \int b f$ : il faut diviser par $b - a$ .

🎯 Méthodes de résolution

Calculer une intégrale via une primitive. 1) Vérifier que $f$ est continue sur $[a; b]$ . 2) Déterminer une primitive $F$ de $f$ (linéarité, formes usuelles $x^{n}$ , $e^{x}$ , $\frac{1}{x}$ , $cos$ , $sin$ ). 3) Calculer $F (b) - F (a)$ en écrivant $[F (x)]_{a}^{b}$ . 4) Simplifier la valeur obtenue. Exemple : $1 \int e \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = 1$ .
Intégration par parties. 1) Repérer un produit $u \cdot v^{'}$ dans l'intégrande. 2) Choisir $u$ (qu'on dérive) et $v^{'}$ (qu'on primitive) de sorte que $\int u^{'} v$ soit plus simple. 3) Calculer $u^{'}$ et $v$ . 4) Appliquer $a \int b u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v$ . 5) Calculer le crochet puis l'intégrale restante. Astuce : pour $ln$ , poser $u = ln x$ ; pour un polynôme fois $e^{x}$ , poser $u =$ le polynôme.
Aire entre deux courbes. 1) Identifier l'intervalle $[a; b]$ (souvent les abscisses des points d'intersection : résoudre $f (x) = g (x)$ ). 2) Déterminer sur $[a; b]$ quelle courbe est au-dessus (étudier le signe de $f - g$ ). 3) Calculer $a \int b (haut - bas) (x) d x$ . 4) Conclure en unités d'aire (et en unités réelles selon le repère).
Valeur moyenne. 1) Vérifier $a < b$ et $f$ continue. 2) Calculer $a \int b f (x) d x$ via une primitive. 3) Diviser par $b - a$ : $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ . 4) Interpréter $μ$ comme la hauteur moyenne de la courbe sur l'intervalle.

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