Mémento Géométrie repérée — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Le repère du plan

Un repère du plan est constitué d'un point d'origine $O$ et de deux axes (l'axe des abscisses, horizontal, et l'axe des ordonnées, vertical). On le note $(O; I, J)$ ou $(O; i, j)$ . Quand les deux axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal ; s'ils ont en plus la même unité, il est orthonormé. Les calculs de distance ne sont valables que dans un repère orthonormé.

Coordonnées d'un point

Tout point $M$ du plan est repéré par un couple de nombres $(x; y)$ : $x$ est son abscisse et $y$ son ordonnée. On écrit $M (x; y)$ . Par exemple, le point $A (3; - 2)$ a pour abscisse $3$ et pour ordonnée $- 2$ . L'origine est $O (0; 0)$ .

Milieu d'un segment

Le milieu $M$ d'un segment $[A B]$ est le point situé à égale distance de $A$ et de $B$ . Ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$ . Avec $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , on a $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ et $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ . Exemple : milieu de $A (1; 3)$ et $B (5; 7)$ est $M (3; 5)$ .

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, la distance entre $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ se calcule grâce au théorème de Pythagore : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Exemple : pour $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ , $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

Équation de droite $y = m x + p$

Toute droite non verticale admet une équation de la forme $y = m x + p$ , appelée équation réduite. Un point $M (x; y)$ appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette égalité. Les droites verticales ont une équation de la forme $x = c$ (elles n'ont pas de coefficient directeur).

Coefficient directeur

Dans $y = m x + p$ , le nombre $m$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il mesure l'inclinaison : si $m > 0$ la droite monte, si $m < 0$ elle descend, si $m = 0$ elle est horizontale. Pour deux points $A$ et $B$ de la droite, $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .

Ordonnée à l'origine

Dans $y = m x + p$ , le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire le point de coordonnées $(0; p)$ . En effet, pour $x = 0$ , on obtient $y = p$ .

Droites parallèles

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ainsi, $y = 2 x + 1$ et $y = 2 x - 5$ sont parallèles car $m = 2$ dans les deux cas. Si en plus elles ont le même $p$ , elles sont confondues.

Appartenance d'un point à une droite

Pour savoir si un point $M (x; y)$ appartient à une droite d'équation $y = m x + p$ , on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point et on vérifie l'égalité. Exemple : $A (2; 5)$ appartient-il à $y = 2 x + 1$ ? On calcule $2 \times 2 + 1 = 5$ : l'égalité est vraie, donc oui.

Intersection de deux droites

Le point d'intersection de deux droites a des coordonnées qui vérifient les deux équations en même temps. On résout le système formé par les deux équations. Si les droites ont le même coefficient directeur (parallèles), il n'y a pas de point d'intersection (sauf si elles sont confondues).

Alignement de points

Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés s'ils appartiennent à une même droite. On peut le vérifier en comparant les coefficients directeurs : si le coefficient directeur de $(A B)$ est égal à celui de $(A C)$ , alors les points sont alignés.

🔑 Formules clés à retenir

Milieu de $[A B]$ : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Distance (repère orthonormé) : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Coefficient directeur de $(A B)$ : $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ (avec $x_{A} \neq = x_{B}$ )
Équation réduite d'une droite non verticale : $y = m x + p$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Ne pas oublier le repère orthonormé pour la formule de la distance : dans un repère quelconque, elle est fausse.
Attention à l'ordre dans les soustractions du coefficient directeur : prendre $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ et toujours respecter le même ordre au numérateur et au dénominateur.
Piège de la division par zéro : si $x_{A} = x_{B}$ , la droite est verticale, le coefficient directeur n'existe pas et l'équation est de la forme $x = c$ .
Milieu = moyenne, pas différence : on additionne les coordonnées et on divise par $2$ , on ne soustrait jamais.
Pour vérifier une appartenance, ne pas se contenter d'un calcul approché : il faut une égalité exacte entre les deux membres.
Ne pas confondre coefficient directeur $m$ (inclinaison) et ordonnée à l'origine $p$ (point de coupure avec l'axe des ordonnées).

🎯 Méthodes de résolution

Calculer une distance. Vérifier que le repère est orthonormé. Repérer les coordonnées $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ . Calculer les différences $x_{B} - x_{A}$ et $y_{B} - y_{A}$ . Les élever au carré, les additionner, puis prendre la racine carrée : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Trouver l'équation d'une droite passant par deux points. Calculer d'abord le coefficient directeur $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ . Écrire $y = m x + p$ avec la valeur de $m$ trouvée. Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées d'un des deux points pour calculer $p$ . Conclure en écrivant l'équation complète.
Montrer que trois points sont alignés. Calculer le coefficient directeur de $(A B)$ : $m_{A B} = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ . Calculer celui de $(A C)$ : $m_{A C} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}}$ . Comparer : si $m_{A B} = m_{A C}$ , les points sont alignés ; sinon ils ne le sont pas.

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