Mémento Fonctions de référence — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Les fonctions de référence

Au programme de Seconde, on étudie quatre fonctions de référence : la fonction affine, la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée. Pour chacune, il faut connaître son ensemble de définition, son sens de variation, son signe et l'allure de sa courbe représentative.

La fonction affine

Une fonction affine est définie sur $R$ par $f (x) = a x + b$ , où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine. Sa courbe est une droite. Lorsque $a = 0$ , la fonction est constante. Lorsque $b = 0$ , la fonction $f (x) = a x$ est dite linéaire et sa droite passe par l'origine.

Sens de variation d'une fonction affine

Le sens de variation dépend uniquement du signe de $a$ :

si $a > 0$ , $f$ est croissante sur $R$ ;
si $a < 0$ , $f$ est décroissante sur $R$ ;
si $a = 0$ , $f$ est constante.

Exemple : $f (x) = 3 x - 1$ a pour coefficient directeur $a = 3 > 0$ , donc $f$ est croissante.

Signe d'une fonction affine

Pour $a \neq = 0$ , $f (x) = a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ . Le signe de $f (x)$ change autour de cette valeur : $f (x)$ a le signe de $a$ après la racine, et le signe contraire avant. On résume cela dans un tableau de signes.

La fonction carré

La fonction carré est définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ . Sa courbe est une parabole de sommet l'origine $O (0; 0)$ , tournée vers le haut. C'est une fonction paire : $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ , donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Variations de la fonction carré

La fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ puis croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle admet un minimum égal à $0$ , atteint en $x = 0$ . De plus, $x^{2} \geq 0$ pour tout réel $x$ : la fonction carré est toujours positive.

La fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $R^{*} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ . Elle n'est pas définie en $0$ . Sa courbe est une hyperbole. C'est une fonction impaire : $f (- x) = - f (x)$ , sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Variations et signe de la fonction inverse

La fonction inverse est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et décroissante sur $] 0; + \infty [$ (attention : elle décroît sur chacun des deux intervalles, mais pas sur $R^{*}$ tout entier). Son signe suit celui de $x$ : $\frac{1}{x} > 0$ si $x > 0$ , et $\frac{1}{x} < 0$ si $x < 0$ .

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = x$ , car on ne peut prendre la racine carrée que d'un nombre positif ou nul. Elle est croissante sur $[0; + \infty [$ et toujours positive. On a toujours $x \geq 0$ et $(x)^{2} = x$ .

Comparaison des fonctions de référence

Sur $[0; 1]$ on a $x^{2} \leq x \leq x$ , tandis que sur $[1; + \infty [$ on a $x \leq x \leq x^{2}$ . À la valeur $x = 1$ , les trois fonctions coïncident : $1^{2} = 1 = 1$ . Comparer $x$ , $x^{2}$ et $x$ revient donc à se placer par rapport à $1$ .

Résolution d'inéquations du type $x^{2} < k$

Pour résoudre $x^{2} < k$ avec $k > 0$ : on utilise $x^{2} < k \Leftrightarrow - k < x < k$ , soit $x \in] - k; k [$ . De même, $x^{2} > k \Leftrightarrow x < - k$ ou $x > k$ . Exemple : $x^{2} < 9 \Leftrightarrow - 3 < x < 3$ . Si $k < 0$ , l'inéquation $x^{2} < k$ n'a aucune solution car $x^{2} \geq 0$ .

🔑 Formules clés à retenir

Fonction affine : $f (x) = a x + b$ définie sur $R$ , courbe = droite
Racine d'une affine : $a x + b = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}$ (avec $a \neq = 0$ )
Fonction carré : $f (x) = x^{2}$ définie sur $R$ , courbe = parabole, paire
Pour tout réel $x$ : $x^{2} \geq 0$
Fonction inverse : $f (x) = \frac{1}{x}$ définie sur $R^{*}$ , courbe = hyperbole, impaire
Fonction racine carrée : $f (x) = x$ définie sur $[0; + \infty [$
Propriétés : $(x)^{2} = x$ et $x \geq 0$ pour $x \geq 0$
Sur $[0; 1]$ : $x^{2} \leq x \leq x$ ; sur $[1; + \infty [$ : $x \leq x \leq x^{2}$
$x^{2} < k \Leftrightarrow - k < x < k$ (pour $k > 0$ )
$x^{2} > k \Leftrightarrow x < - k$ ou $x > k$ (pour $k > 0$ )

💡 Astuces & erreurs à éviter

Inverse non définie en $0$ . On ne divise jamais par $0$ : l'ensemble de définition de $x \mapsto \frac{1}{x}$ est $R^{*}$ , jamais $R$ .
La fonction inverse n'est pas décroissante sur $R^{*}$ . Elle décroît sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ séparément. Par exemple $- 1 < 2$ mais $\frac{1}{- 1} = - 1 < \frac{1}{2}$ : on ne peut pas comparer à travers $0$ .
Le carré est toujours positif. $x^{2} \geq 0$ pour tout $x$ . Donc $x^{2} = - 4$ n'a pas de solution, et $x^{2} < k$ avec $k < 0$ n'a aucune solution.
Racine carrée d'un négatif impossible. $x$ n'existe que pour $x \geq 0$ . Penser à la condition d'existence avant tout calcul.
Ne pas confondre $x^{2}$ et $x$ . En réalité $x^{2} = ∣ x ∣$ : par exemple $(- 3)^{2} = 9 = 3$ , et non $- 3$ .
Attention au sens de variation du carré. La fonction carré n'est pas croissante partout : elle décroît sur $] - \infty; 0]$ . Donc $- 5 < - 2$ donne $25 > 4$ .

🎯 Méthodes de résolution

Étudier le signe d'une fonction affine $f (x) = a x + b$ . On calcule la racine $x_{0} = - \frac{b}{a}$ . On dresse un tableau de signes : à droite de $x_{0}$ , $f (x)$ a le signe de $a$ ; à gauche, le signe opposé. Exemple : pour $f (x) = - 2 x + 6$ , racine en $x = 3$ ; comme $a = - 2 < 0$ , $f (x) > 0$ pour $x < 3$ et $f (x) < 0$ pour $x > 3$ .
Déterminer le sens de variation d'une fonction affine. On regarde le signe du coefficient directeur $a$ : $a > 0$ donne croissante, $a < 0$ donne décroissante, $a = 0$ donne constante. Aucun calcul supplémentaire n'est nécessaire.
Comparer $x$ et $x^{2}$ (ou $x$ ). On se situe par rapport à $1$ . Si $0 \leq x \leq 1$ alors $x^{2} \leq x \leq x$ . Si $x \geq 1$ alors $x^{2} \geq x \geq x$ . On peut aussi étudier le signe de la différence, par exemple $x^{2} - x = x (x - 1)$ .
Utiliser les variations pour comparer des images. Si $f$ est croissante sur un intervalle et $a < b$ dans cet intervalle, alors $f (a) < f (b)$ ; si $f$ est décroissante, alors $f (a) > f (b)$ . Exemple : comme la fonction carré est croissante sur $[0; + \infty [$ , de $2 < 3$ on déduit $4 < 9$ .
Résoudre une inéquation du type $x^{2} < k$ . Si $k < 0$ : aucune solution. Si $k \geq 0$ : on écrit $- k < x < k$ , soit $S =] - k; k [$ .

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