Mémento Fonctions : généralités — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Notion de fonction

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre noté $f (x)$ . On dit que $f$ va de $x$ vers $f (x)$ . On note $f : x \mapsto f (x)$ . Par exemple, pour $f (x) = x^{2} + 1$ , à $x = 3$ on associe $f (3) = 10$ .

Image et antécédent

Le nombre $f (x)$ est l'image de $x$ par $f$ . Réciproquement, si $f (a) = b$ , alors $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ . Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Exemple : pour $f (x) = x^{2}$ , l'image de $- 2$ est $4$ , et $4$ a deux antécédents : $- 2$ et $2$ .

Ensemble de définition

L'ensemble de définition $D_{f}$ est l'ensemble de tous les nombres $x$ qui possèdent une image par $f$ . Certaines valeurs sont interdites : par exemple $f (x) = \frac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ , donc $D_{f} = R ∖ {0}$ . Pour $g (x) = x$ , on a $D_{g} = [0; + \infty [$ .

Courbe représentative

La courbe représentative $C_{f}$ de $f$ est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que $y = f (x)$ , avec $x \in D_{f}$ . Un point $A (a; b)$ appartient à $C_{f}$ si et seulement si $b = f (a)$ .

Lecture graphique d'une image et d'un antécédent

Pour lire l'image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. Pour lire les antécédents de $k$ : on part de $k$ sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement, et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs donne quelques images $f (x)$ pour différentes valeurs de $x$ . Il permet de placer des points et de tracer une allure de la courbe.

Sens de variation

Sur un intervalle $I$ : $f$ est croissante si elle conserve l'ordre, c'est-à-dire que si $a < b$ alors $f (a) \leq f (b)$ (la courbe monte). $f$ est décroissante si elle inverse l'ordre, c'est-à-dire que si $a < b$ alors $f (a) \geq f (b)$ (la courbe descend). $f$ est constante si $f (x)$ ne change pas (la courbe est horizontale).

Tableau de variations

Le tableau de variations résume le sens de variation de $f$ . Les flèches montantes indiquent que $f$ croît, les flèches descendantes qu'elle décroît. On y reporte les valeurs de $f$ aux bornes des intervalles et aux extremums.

Extremums

Un maximum de $f$ sur $I$ est la plus grande valeur atteinte par $f (x)$ sur $I$ ; un minimum est la plus petite. Exemple : si pour tout $x$ , $f (x) \geq 2$ et $f (1) = 2$ , alors $f$ admet un minimum égal à $2$ , atteint en $x = 1$ .

Résolution graphique d'équations

Résoudre graphiquement $f (x) = k$ revient à chercher les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$ . Résoudre $f (x) = g (x)$ revient à chercher les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Résolution graphique d'inéquations

Résoudre $f (x) > k$ revient à repérer les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est au-dessus de la droite $y = k$ . Résoudre $f (x) < k$ revient à repérer les $x$ pour lesquels la courbe est en dessous de cette droite.

🔑 Formules clés à retenir

Notation : $f : x \mapsto f (x)$ , et $f (x)$ se lit « $f$ de $x$ ».
$b$ est l'image de $a$ $⟺$ $b = f (a)$ .
$a$ est un antécédent de $b$ $⟺$ $f (a) = b$ .
$A (a; b) \in C_{f} ⟺ b = f (a)$ avec $a \in D_{f}$ .
$f$ croissante sur $I$ : pour $a < b$ dans $I$ , $f (a) \leq f (b)$ .
$f$ décroissante sur $I$ : pour $a < b$ dans $I$ , $f (a) \geq f (b)$ .
$M$ est un maximum de $f$ sur $I$ : pour tout $x \in I$ , $f (x) \leq M$ .
$m$ est un minimum de $f$ sur $I$ : pour tout $x \in I$ , $f (x) \geq m$ .
Résoudre $f (x) = k$ : intersection de $C_{f}$ avec la droite $y = k$ .

💡 Astuces & erreurs à éviter

Image vs antécédent : l'image se calcule directement ( $x$ connu, on cherche $f (x)$ ) ; l'antécédent demande de résoudre une équation ( $f (x)$ connu, on cherche $x$ ).
Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Ne jamais conclure qu'il y a un unique antécédent sans vérifier.
Pour lire une image on part de l'axe des $x$ (horizontal) ; pour lire un antécédent on part de l'axe des $y$ (vertical). Ne pas confondre les deux axes de départ.
Une solution de $f (x) = k$ est une abscisse, pas l'ordonnée du point d'intersection.
Le maximum (ou minimum) est une valeur de $f (x)$ (une ordonnée), à distinguer de l'abscisse $x$ où il est atteint.
Vérifier l'ensemble de définition : pas de division par $0$ , pas de racine carrée d'un nombre négatif.

🎯 Méthodes de résolution

Déterminer l'image de $a$ . Remplacer $x$ par $a$ dans l'expression de $f$ et calculer. Exemple : pour $f (x) = 2 x - 5$ , l'image de $4$ est $f (4) = 2 \times 4 - 5 = 3$ . Graphiquement : partir de $a$ sur l'axe des abscisses, monter jusqu'à la courbe, lire l'ordonnée.
Déterminer le(s) antécédent(s) de $k$ . Résoudre l'équation $f (x) = k$ . Exemple : antécédents de $7$ pour $f (x) = 2 x - 5$ : on résout $2 x - 5 = 7$ , soit $x = 6$ . Graphiquement : partir de $k$ sur l'axe des ordonnées, se déplacer horizontalement, lire les abscisses des points de la courbe rencontrés.
Lire les variations. Parcourir la courbe de gauche à droite. Repérer les intervalles où elle monte (croissante) et où elle descend (décroissante), puis reporter les flèches et les valeurs aux bornes dans le tableau de variations.
Résoudre graphiquement $f (x) = k$ . Tracer la droite horizontale $y = k$ . Repérer les points d'intersection avec $C_{f}$ . Les solutions sont les abscisses de ces points.

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