Mémento Fonction exponentielle — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Définition par l'équation différentielle

On appelle fonction exponentielle l'unique fonction $f$ dérivable sur $R$ qui vérifie $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . On la note $exp$ , et on pose $exp (x) = e^{x}$ où $e = exp (1) \approx 2, 718$ . Ainsi, pour tout réel $x$ : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ et $e^{0} = 1$ .

2. Existence et unicité

L'existence est admise (construction comme réciproque du logarithme ou par méthode d'Euler). L'unicité se démontre : si $g$ vérifie aussi $g^{'} = g$ et $g (0) = 1$ , on étudie $h = g / f$ après avoir montré que $f$ ne s'annule pas. On obtient $h^{'} = 0$ , donc $h$ constante égale à $h (0) = 1$ , d'où $g = f$ .

3. La fonction exp ne s'annule jamais

Posons $φ (x) = e^{x} \cdot e^{- x}$ . Alors $φ^{'} (x) = e^{x} e^{- x} - e^{x} e^{- x} = 0$ , donc $φ$ est constante : $φ (x) = φ (0) = 1$ . Ainsi $e^{x} \times e^{- x} = 1$ pour tout $x$ , ce qui prouve que $e^{x} \neq = 0$ et que $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ .

4. Signe : l'exponentielle est strictement positive

Comme $e^{x}$ ne s'annule pas et que $e^{0} = 1 > 0$ , par continuité $e^{x}$ garde un signe constant : $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ . C'est un résultat fondamental, utilisé constamment dans les études de signe.

5. Propriétés algébriques (relation fonctionnelle)

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ , $e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$ , $(e^{a})^{n} = e^{na}$ .

Démonstration de $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ : on fixe $b$ et on dérive $x \mapsto e^{x + b} - e^{x} e^{b}$ , dont la dérivée est nulle et la valeur en $x = 0$ est nulle. Exemple : $e^{3} = e^{2 + 1} = e^{2} \times e$ .

6. Dérivée de $e^{u}$

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ . Exemples : $(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$ , $(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}$ , $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ . On n'oublie jamais le facteur $u^{'}$ .

7. Variations et courbe

Comme $(e^{x})^{'} = e^{x} > 0$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ . Elle est convexe (sa dérivée seconde $e^{x} > 0$ ). Sa courbe passe par $(0; 1)$ et $(1; e)$ , et la tangente en $0$ a pour équation $y = x + 1$ . On en déduit l'inégalité utile $e^{x} ⩾ x + 1$ pour tout $x$ .

8. Limites aux bornes

$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim e^{x} = 0^{+}$ . L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale en $- \infty$ .

9. Croissances comparées

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance :

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ , plus généralement $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ , et $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ , $x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$ .

Ces résultats permettent de lever des formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ .

10. Équations et inéquations

L'exponentielle étant strictement croissante (donc bijective de $R$ sur $] 0; + \infty [$ ) :

$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ et $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ . Exemple : $e^{2 x} = e^{x + 3} ⟺ 2 x = x + 3 ⟺ x = 3$ . Une équation comme $e^{x} = 5$ a pour solution $x = ln 5$ .

11. Lien avec le logarithme népérien

La fonction $ln$ est la réciproque de $exp$ sur $] 0; + \infty [$ : pour $x > 0$ , $e^{l n x} = x$ , et pour tout réel $x$ , $ln (e^{x}) = x$ . De plus $e^{a} = b ⟺ a = ln b$ (avec $b > 0$ ). On a aussi, pour $a > 0$ , $a^{x} = e^{x l n a}$ .

12. Synthèse

Retenir : $e^{x} > 0$ toujours, $exp$ strictement croissante, transforme les sommes en produits, et domine les puissances en $+ \infty$ . C'est l'outil central pour modéliser croissances, décroissances et phénomènes continus.

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ et $e^{0} = 1$ , avec $e \approx 2, 718$ .
Signe : $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ .
$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ et $e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$ pour $n \in Z$
Dérivée : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$
Limites : $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim e^{x} = 0$
Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ et $x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$
Inégalité : $e^{x} ⩾ x + 1$ pour tout $x$
Lien avec ln : $e^{l n x} = x$ ( $x > 0$ ), $ln (e^{x}) = x$ , et $a^{x} = e^{x l n a}$ ( $a > 0$ )

💡 Astuces & erreurs à éviter

$e^{x} > 0$ TOUJOURS : une exponentielle ne s'annule et ne change jamais de signe ; ce facteur ne compte pas dans un tableau de signes.
Ne jamais oublier $u^{'}$ : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ . Écrire $(e^{3 x})^{'} = e^{3 x}$ est faux, c'est $3 e^{3 x}$ .
$e^{a + b} \neq = e^{a} + e^{b}$ : l'exponentielle transforme les SOMMES en PRODUITS, pas en sommes.
$(e^{a})^{n} = e^{na}$ , pas $e^{a^{n}}$ : bien distinguer puissance de l'exponentielle et exponentielle d'une puissance.
Équation $e^{x} = k$ : vérifier que $k > 0$ avant d'écrire $x = ln k$ ; si $k ⩽ 0$ , aucune solution.
Inéquation : exp est croissante, donc on garde le sens de l'inégalité (ne pas inverser comme avec une fonction décroissante).
Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte toujours sur la puissance, jamais l'inverse. En cas de doute, $e^{x}$ « gagne ».
Changement de variable : après avoir posé $X = e^{x}$ , ne pas oublier la contrainte $X > 0$ pour écarter les solutions négatives.
Simplifier avant de dériver : $e^{l n x} = x$ et $ln (e^{x}) = x$ permettent souvent d'alléger une expression avant tout calcul.

🎯 Méthodes de résolution

Dériver une fonction du type $e^{u}$ : identifier $u$ , calculer $u^{'}$ , puis écrire $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ . Ex : pour $f (x) = e^{- 2 x + 1}$ , $u = - 2 x + 1$ , $u^{'} = - 2$ , donc $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x + 1}$ .
Étudier le signe d'une expression avec exp : rappeler que $e^{(\dots)} > 0$ toujours. Le signe ne dépend donc que des autres facteurs. Ex : le signe de $(x - 3) e^{x}$ est celui de $x - 3$ .
Résoudre une équation $e^{A (x)} = e^{B (x)}$ : par injectivité, se ramener à $A (x) = B (x)$ et résoudre. Si l'équation est $e^{A (x)} = k$ avec $k > 0$ , écrire $A (x) = ln k$ ; si $k ⩽ 0$ , pas de solution.
Résoudre une inéquation $e^{A (x)} < e^{B (x)}$ : exp étant croissante, le sens se conserve : $A (x) < B (x)$ . Attention aux inéquations $e^{A (x)} < k$ : si $k ⩽ 0$ aucune solution, sinon $A (x) < ln k$ .
Résoudre par changement de variable : pour $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ , poser $X = e^{x} > 0$ , résoudre $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ , puis revenir à $x = ln X$ en ne gardant que les $X > 0$ .
Lever une forme indéterminée en $+ \infty$ ( $\frac{\infty}{\infty}$ ) : factoriser par le terme dominant ou utiliser directement la croissance comparée $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ . Ex : $\frac{e ^{x}}{x ^{2} + 1} \to + \infty$ .
Lever une FI $0 \times \infty$ en $- \infty$ : reconnaître $x^{n} e^{x} \to 0$ . Ex : $x \to - \infty lim (x^{2} + 1) e^{x} = 0$ .
Lever une FI avec une variable composée : poser $X =$ l'argument, ramener à une limite de référence. Ex : pour $\frac{e ^{x} - 1}{x}$ en $0$ , reconnaître le taux d'accroissement de $exp$ en $0$ , limite $= 1$ .

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