Mémento Fonction exponentielle — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Introduction : une fonction égale à sa dérivée

On cherche une fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . On démontre qu'une telle fonction existe et qu'elle est unique : on l'appelle fonction exponentielle.

Notation $exp$ et nombre $e$

Cette fonction se note $exp$ . On pose $e = exp (1) \approx 2, 718$ . Grâce aux propriétés algébriques, on note pour tout réel $x$ : $exp (x) = e^{x}$ . Ainsi $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ .

Relation fonctionnelle

Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b} .$ C'est la propriété fondamentale qui transforme une somme en produit. Par exemple $e^{3} = e^{2 + 1} = e^{2} \times e$ .

Inverse et quotient

Pour tout réel $a$ : $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} et \frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b} .$ Exemple : $e^{- 2} = \frac{1}{e ^{2}}$ et $\frac{e ^{5}}{e ^{3}} = e^{2}$ .

Puissance entière

Pour tout réel $a$ et tout entier $n$ : $(e^{a})^{n} = e^{na} .$ Par exemple $(e^{x})^{3} = e^{3 x}$ et $(e^{2})^{4} = e^{8}$ .

Signe : toujours strictement positif

Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ . En effet $e^{x} = (e^{x /2})^{2} \geq 0$ et ne s'annule jamais car $e^{x} \times e^{- x} = e^{0} = 1$ . Conséquence : dans une étude de signe, le facteur $e^{x}$ se "supprime" car il est toujours positif.

Sens de variation

Comme $exp^{'} = exp$ et que $e^{x} > 0$ , la dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ .

Dérivée de $e^{x}$ et de $e^{k x}$

La dérivée de $x \mapsto e^{x}$ est $x \mapsto e^{x}$ . Pour $k$ réel, la dérivée de $x \mapsto e^{k x}$ est : $(e^{k x})^{'} = k e^{k x} .$ Exemple : la dérivée de $e^{3 x}$ est $3 e^{3 x}$ , celle de $e^{- x}$ est $- e^{- x}$ .

Courbe représentative

La courbe passe par le point $(0; 1)$ , reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (car $e^{x} > 0$ ), et croît de plus en plus vite. La tangente au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $e^{0} = 1$ .

Équations et inéquations simples

La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b et e^{a} < e^{b} ⟺ a < b .$ On peut donc "identifier les exposants". Exemple : $e^{2 x} = e^{6} ⟺ 2 x = 6 ⟺ x = 3$ .

🔑 Formules clés à retenir

$e^{0} = 1$ et $e^{1} = e \approx 2, 718$
$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$
$\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$
$e^{x} > 0$ pour tout réel $x$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$
$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$
$e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$

💡 Astuces & erreurs à éviter

$e^{x} > 0$ TOUJOURS : dans une étude de signe, un facteur $e^{x}$ ne change jamais le signe, on peut l'ignorer et étudier seulement l'autre facteur.
$e^{x}$ ne s'annule jamais : l'équation $e^{x} = 0$ n'a aucune solution.
Somme $\to$ produit : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ (on additionne les exposants quand on multiplie).
Le signe $-$ devient un inverse : $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ .
Pour dériver $e^{k x}$ , ne pas oublier de multiplier par $k$ : la dérivée de $e^{- x}$ est $- e^{- x}$ , pas $e^{- x}$ .
La fonction étant strictement croissante, dans une inéquation $e^{A} < e^{B}$ le sens se conserve : on n'inverse jamais le symbole.

🎯 Méthodes de résolution

Simplifier une expression avec $exp$ : on regroupe les exposants en utilisant $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ , $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ et $(e^{a})^{n} = e^{na}$ . Exemple : $\frac{e ^{3 x} \times e ^{x}}{e ^{2 x}} = e^{3 x + x - 2 x} = e^{2 x}$ .
Résoudre une équation : on ramène l'équation à la forme $e^{A} = e^{B}$ , puis on utilise l'équivalence $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ . Exemple : $e^{x + 1} = e^{2 x - 3} ⟺ x + 1 = 2 x - 3 ⟺ x = 4$ .
Résoudre une inéquation : on ramène à $e^{A} < e^{B}$ (ou $\leq$ ), puis, la fonction étant strictement croissante, on remplace par $A < B$ sans changer le sens. Exemple : $e^{2 x} \leq e^{x + 1} ⟺ 2 x \leq x + 1 ⟺ x \leq 1$ .
Dériver : pour $e^{k x}$ , on applique $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ . Pour une somme comme $f (x) = 5 e^{2 x} - 3 x$ , on dérive terme à terme : $f^{'} (x) = 5 \times 2 e^{2 x} - 3 = 10 e^{2 x} - 3$ .

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