Équations et inéquations

Équation du premier degré

Une équation du premier degré s'écrit sous la forme $ax+b=0$ avec $a\ne 0$. On isole l'inconnue : sa solution unique est $x=-\frac{b}{a}$. Exemple : $3x-6=0$ donne $x=2$.

Principe de résolution

Pour résoudre, on ajoute ou retranche le même nombre dans les deux membres, puis on divise par le coefficient de $x$. On conserve l'égalité en faisant la même opération à gauche et à droite. Exemple : $2x+1=7\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$.

Équation produit-nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Ainsi $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$. Exemple : $(x-2)(x+5)=0$ donne $x=2$ ou $x=-5$.

Équation quotient

Un quotient $\frac{A}{B}$ est nul si et seulement si $A=0$ et $B\ne 0$. Il faut donc exclure les valeurs interdites qui annulent le dénominateur. Exemple : $\frac{x-3}{x+1}=0$ donne $x=3$ (avec $x\ne -1$).

Inéquations du premier degré

Une inéquation compare deux expressions avec un symbole $<$, $>$, $\le$ ou $\ge$. On la résout comme une équation, en isolant $x$. Exemple : $2x+3\ge 7\Rightarrow 2x\ge 4\Rightarrow x\ge 2$.

Règle du signe (multiplication ou division par un négatif)

Attention : lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l'inégalité. Exemple : $-2x<6\Rightarrow x>-3$ (le sens a changé).

Solutions et intervalles

L'ensemble des solutions d'une inéquation se note sous forme d'intervalle. Par exemple $x\ge 2$ s'écrit $[2;+\infty [$ et $x<5$ s'écrit $]-\infty ;5[$. Un crochet fermé inclut la valeur, un crochet ouvert l'exclut.

Signe d'un facteur affine

Un facteur affine $ax+b$ s'annule en $x=-\frac{b}{a}$. Il a le signe de $-a$ avant cette racine et le signe de $a$ après. Exemple : $2x-4$ est négatif pour $x<2$ et positif pour $x>2$.

Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de facteurs affines, on dresse un tableau de signes. On y place les racines de chaque facteur, on étudie le signe de chaque ligne, puis on applique la règle des signes pour obtenir le signe global.

Valeurs interdites dans un quotient

Dans un tableau de signes d'un quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites : on les marque par une double barre car le quotient n'existe pas en ces points.

Résolution graphique

On peut résoudre graphiquement une équation $f(x)=0$ en lisant les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses. Pour $f(x)<g(x)$, on cherche les $x$ où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$.