Mémento Dérivation — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

Taux d'accroissement

Pour une fonction $f$ et deux réels distincts $a$ et $a + h$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ . Il représente la pente de la droite (sécante) passant par les points d'abscisses $a$ et $a + h$ .

Nombre dérivé

On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ . Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ : $f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ . Exemple : pour $f (x) = x^{2}$ , $f^{'} (3) = 6$ .

Tangente

Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ . C'est la position limite des sécantes lorsque $h$ tend vers $0$ .

Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout réel d'un intervalle $I$ , la fonction qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

Dérivées usuelles

Quelques résultats à connaître : si $f (x) = k$ (constante) alors $f^{'} (x) = 0$ ; si $f (x) = x$ alors $f^{'} (x) = 1$ ; si $f (x) = x^{n}$ alors $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ ; si $f (x) = \frac{1}{x}$ alors $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ ; si $f (x) = x$ alors $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Opérations : somme

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ . De même $(k u)^{'} = k u^{'}$ pour une constante $k$ . Exemple : si $f (x) = 3 x^{2} + 5 x$ , alors $f^{'} (x) = 6 x + 5$ .

Opérations : produit

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ . Exemple : pour $f (x) = (2 x + 1) (x^{2})$ , on a $u = 2 x + 1$ , $v = x^{2}$ , donc $f^{'} (x) = 2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) \cdot 2 x$ .

Opérations : quotient

Pour un quotient (avec $v \neq = 0$ ) : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Attention à l'ordre au numérateur et au carré au dénominateur.

Lien dérivée et variations

Le signe de $f^{'}$ donne le sens de variation de $f$ sur un intervalle : si $f^{'} (x) > 0$ , $f$ est strictement croissante ; si $f^{'} (x) < 0$ , $f$ est strictement décroissante ; si $f^{'} (x) = 0$ sur tout l'intervalle, $f$ est constante.

Extremums

Un extremum local (maximum ou minimum) d'une fonction dérivable est atteint en un point où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe. Si $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ , c'est un maximum ; de $-$ à $+$ , c'est un minimum.

🔑 Formules clés à retenir

Constante : $(k)^{'} = 0$
$(x)^{'} = 1$ et $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
Somme : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
Constante en facteur : $(k u)^{'} = k u^{'}$
Produit : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Quotient : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Inverse : $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
Équation de la tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

💡 Astuces & erreurs à éviter

La dérivée d'un produit n'est pas $u^{'} v^{'}$ : il faut appliquer $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Au quotient, ne pas oublier le $v^{2}$ au dénominateur et le signe moins : numérateur $u^{'} v - u v^{'}$ , dans cet ordre.
$f^{'} (a) = 0$ ne suffit pas pour un extremum : il faut un changement de signe de $f^{'}$ . Sinon (ex : $x^{3}$ en $0$ ) il n'y a pas d'extremum.
Ne pas confondre $f (a)$ (ordonnée du point) et $f^{'} (a)$ (pente de la tangente).
Vérifier le domaine de dérivabilité : $x$ n'est pas dérivable en $0$ .
Pour dériver $x^{n}$ , on multiplie par l'exposant puis on diminue l'exposant de 1, sans l'inverser.

🎯 Méthodes de résolution

Déterminer l'équation d'une tangente en $a$ . Calculer $f (a)$ , puis la dérivée $f^{'}$ et la valeur $f^{'} (a)$ . Reporter dans la formule $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ , puis développer pour obtenir $y = m x + p$ .
Étudier les variations d'une fonction. Calculer $f^{'} (x)$ à l'aide des formules. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ (factoriser ou résoudre $f^{'} (x) = 0$ ). Dresser le tableau de signes de $f^{'}$ puis le tableau de variations de $f$ : $f$ croît là où $f^{'} > 0$ , décroît là où $f^{'} < 0$ .
Chercher un extremum. Résoudre $f^{'} (x) = 0$ . Étudier le signe de $f^{'}$ autour de chaque solution : un changement de signe $+ \to -$ donne un maximum, un changement $- \to +$ donne un minimum. Calculer la valeur $f (x_{0})$ correspondante.

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