Mémento Dérivation et convexité — Formules et astuces

📖 Résumé de cours

1. Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement admet une limite finie : $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = f^{'} (a)$ . Ce nombre $f^{'} (a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$ . Il correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

L'équation de la tangente en $a$ est : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Exemple : pour $f (x) = x^{2}$ en $a = 3$ , on a $f^{'} (3) = 6$ et $f (3) = 9$ , donc la tangente est $y = 6 (x - 3) + 9 = 6 x - 9$ .

2. Dérivées des fonctions usuelles

Il faut connaître par cœur le tableau des dérivées de référence. Pour $f (x) = x^{n}$ , on a $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ . Pour $f (x) = x$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ . Pour $f (x) = \frac{1}{x}$ , $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ . Les fonctions exponentielle et logarithme vérifient $(e^{x})^{'} = e^{x}$ et $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

Trigonométrie : $(sin x)^{'} = cos x$ et $(cos x)^{'} = - sin x$ . Attention au signe moins sur la dérivée du cosinus.

3. Opérations sur les dérivées

Si $u$ et $v$ sont dérivables : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ et $(k u)^{'} = k u^{'}$ pour une constante $k$ . Le produit donne $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ . Le quotient donne $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ là où $v \neq = 0$ .

Exemple : pour $f (x) = x^{2} e^{x}$ , on pose $u = x^{2}$ et $v = e^{x}$ , d'où $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = (x^{2} + 2 x) e^{x}$ .

4. Dérivée d'une fonction composée

Si $g$ est dérivable en $a$ et $f$ dérivable en $g (a)$ , alors $f \circ g$ est dérivable en $a$ et : $(f \circ g)^{'} (x) = g^{'} (x) \times f^{'} (g (x))$ . Autrement dit, on dérive la fonction « extérieure » en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Exemple : pour $f (x) = (3 x + 1)^{4}$ , l'intérieur est $u = 3 x + 1$ avec $u^{'} = 3$ , donc $f^{'} (x) = 3 \times 4 (3 x + 1)^{3} = 12 (3 x + 1)^{3}$ .

5. Dérivée de $e^{u}$ , $ln u$ et $u$

Ces formules découlent de la dérivée d'une composée et sont incontournables :

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ — la dérivée de l'exponentielle redonne l'exponentielle, multipliée par $u^{'}$ .

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ — valable lorsque $u > 0$ .

$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ — valable lorsque $u > 0$ .

Exemple : $f (x) = e^{x^{2}}$ donne $f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}}$ ; $g (x) = ln (x^{2} + 1)$ donne $g^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

6. Sens de variation et signe de la dérivée

Le lien fondamental entre dérivée et variations sur un intervalle $I$ :

Si $f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ . Si $f^{'} (x) ⩽ 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ . Si $f^{'} (x) = 0$ sur $I$ (et seulement en ce cas), $f$ est constante.

Étudier les variations d'une fonction revient donc à étudier le signe de sa dérivée, que l'on consigne dans un tableau de variation.

7. Extremums locaux

Si $f$ admet un extremum local en $a$ (avec $a$ intérieur à $I$ ), alors $f^{'} (a) = 0$ . Réciproque partielle : si $f^{'}$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ .

Attention : $f^{'} (a) = 0$ ne suffit pas. Pour $f (x) = x^{3}$ , on a $f^{'} (0) = 0$ mais il n'y a pas d'extremum en $0$ car $f^{'}$ ne change pas de signe (point d'inflexion à tangente horizontale).

8. Convexité et concavité

Une fonction $f$ deux fois dérivable est convexe sur $I$ si sa courbe « tourne sa concavité vers le haut » (forme de cuvette $⌣$ ), et concave si elle tourne vers le bas (forme de dôme $⌢$ ).

Géométriquement, $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; elle est concave si la courbe est en dessous de ses tangentes. Pour une fonction convexe, toute corde reliant deux points de la courbe est située au-dessus de la courbe.

9. Dérivée seconde et caractérisation de la convexité

La dérivée seconde $f^{''}$ est la dérivée de $f^{'}$ . Elle caractérise la convexité :

$f$ est convexe sur $I$ $⟺ f^{''} ⩾ 0$ sur $I$ $⟺ f^{'}$ est croissante sur $I$ .

$f$ est concave sur $I$ $⟺ f^{''} ⩽ 0$ sur $I$ $⟺ f^{'}$ est décroissante sur $I$ .

Exemple : pour $f (x) = x^{2}$ , $f^{''} (x) = 2 > 0$ , donc $f$ est convexe sur $R$ .

10. Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f$ change de convexité (passe de convexe à concave ou inversement).

Caractérisation : la courbe présente un point d'inflexion en $a$ si et seulement si $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$ . Attention : $f^{''} (a) = 0$ seul ne suffit pas, il faut le changement de signe.

Exemple : pour $f (x) = x^{3}$ , $f^{''} (x) = 6 x$ s'annule en changeant de signe en $0$ : il y a un point d'inflexion en l'origine.

11. Position relative de la courbe et de la tangente

Pour étudier la position de $C_{f}$ par rapport à sa tangente $T$ d'équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ , on étudie le signe de la différence $d (x) = f (x) - [f^{'} (a) (x - a) + f (a)]$ .

Si $d (x) ⩾ 0$ , la courbe est au-dessus de $T$ ; si $d (x) ⩽ 0$ , elle est en dessous. Sur un intervalle où $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes ; là où $f$ est concave, en dessous.

12. Synthèse : convexité et dérivées

On retient la chaîne d'équivalences pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ : $f$ convexe $⟺$ $f^{'}$ croissante $⟺$ $f^{''} ⩾ 0$ $⟺$ courbe au-dessus de ses tangentes. La dérivée première gouverne les variations, la dérivée seconde gouverne la convexité.

🔑 Formules clés à retenir

Nombre dérivé : $f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
Tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ et $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ et $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ et $(cos x)^{'} = - sin x$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(f \circ g)^{'} (x) = g^{'} (x) \times f^{'} (g (x))$
$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$
$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$
$f$ croissante sur $I ⟺ f^{'} ⩾ 0$ sur $I$
Extremum local en $a \Rightarrow f^{'} (a) = 0$ (avec changement de signe de $f^{'}$ )
$f$ convexe sur $I ⟺ f^{''} ⩾ 0 ⟺ f^{'}$ croissante
$f$ concave sur $I ⟺ f^{''} ⩽ 0 ⟺ f^{'}$ décroissante
Point d'inflexion en $a ⟺ f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$

💡 Astuces & erreurs à éviter

Oublier le facteur $u^{'}$ : c'est l'erreur reine. Pour $e^{3 x}$ , la dérivée est $3 e^{3 x}$ et non $e^{3 x}$ ; pour $ln (2 x + 1)$ , c'est $\frac{2}{2 x + 1}$ et non $\frac{1}{2 x + 1}$ .
Confondre $f^{'}$ et $f^{''}$ : $f^{'}$ donne le sens de variation, $f^{''}$ donne la convexité. Un signe positif de $f^{''}$ ne signifie pas que $f$ croît, mais qu'elle est convexe.
Le signe moins du cosinus : $(cos x)^{'} = - sin x$ (et non $+ sin x$ ).
$f^{'} (a) = 0$ ne garantit pas un extremum : il faut un changement de signe de $f^{'}$ . Contre-exemple : $f (x) = x^{3}$ en $0$ .
$f^{''} (a) = 0$ ne garantit pas un point d'inflexion : il faut un changement de signe de $f^{''}$ . Pour $f (x) = x^{4}$ , $f^{''} (0) = 0$ mais $f$ reste convexe partout.
Dérivée d'un quotient : attention à l'ordre au numérateur, c'est $u^{'} v - u v^{'}$ (et non $u v^{'} - u^{'} v$ ), et on divise par $v^{2}$ .
Ensemble de définition de $ln u$ et $u$ : ces dérivées ne sont valables que là où $u > 0$ . Toujours préciser le domaine.
Convexité $\neq =$ croissance : une fonction peut être décroissante et convexe (ex. $e^{- x}$ ), ou croissante et concave (ex. $x$ ).
Ne pas oublier $f (a)$ dans la tangente : l'équation est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ , le terme $+ f (a)$ est souvent oublié.

🎯 Méthodes de résolution

Dériver une fonction composée. Repérer la fonction « intérieure » $u$ et la fonction « extérieure » (puissance, $e$ , $ln$ , $x$ ). Calculer $u^{'}$ . Appliquer la formule adaptée : $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ . Ne jamais oublier le facteur $u^{'}$ . Ex. : $f (x) = e^{2 x + 1}$ , $u = 2 x + 1$ , $u^{'} = 2$ , donc $f^{'} (x) = 2 e^{2 x + 1}$ .
Étudier les variations d'une fonction. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ . Calculer $f^{'} (x)$ et simplifier (factoriser au maximum). Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $D_{f}$ . Dresser le tableau de variation : ligne du signe de $f^{'}$ , puis flèches croissantes/décroissantes pour $f$ . Indiquer les valeurs aux bornes et les extremums éventuels.
Déterminer la convexité et les points d'inflexion. Calculer $f^{'} (x)$ , puis $f^{''} (x)$ . Étudier le signe de $f^{''} (x)$ . Sur les intervalles où $f^{''} ⩾ 0$ , $f$ est convexe ; où $f^{''} ⩽ 0$ , $f$ est concave. Repérer les valeurs où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe : ce sont les abscisses des points d'inflexion. Conclure en donnant les coordonnées de ces points.
Déterminer l'équation d'une tangente. Identifier le point de tangence, d'abscisse $a$ . Calculer $f (a)$ . Calculer la dérivée $f^{'} (x)$ , puis $f^{'} (a)$ . Reporter dans la formule $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Développer pour obtenir la forme $y = m x + p$ . Ex. : $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , d'où $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

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