Nombres et calculs

Les ensembles de nombres

On classe les nombres dans des ensembles emboîtés : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. $\mathbb{N}$ : entiers naturels ($0,1,2,\dots$). $\mathbb{Z}$ : entiers relatifs ($\dots ,-2,-1,0,1,\dots$). $\mathbb{D}$ : nombres décimaux ($1,5$ ; $-0,07$). $\mathbb{Q}$ : rationnels, quotients $\frac{a}{b}$ avec $b\ne 0$. $\mathbb{R}$ : tous les nombres de la droite graduée.

Nombres rationnels et irrationnels

Un rationnel s'écrit $\frac{a}{b}$ ($a\in \mathbb{Z}$, $b\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$), par exemple $\frac{2}{3}$. Un nombre comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ est irrationnel : il n'est le quotient d'aucun entier. Tout décimal est rationnel, mais tout rationnel n'est pas décimal ($\frac{1}{3}$ n'est pas décimal).

Les puissances

Pour $a\ne 0$ et $n$ entier : $a^n=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$. Par convention $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Exemple : $2^3=8$ et $5^{-2}=\frac{1}{25}$.

Règles de calcul sur les puissances

Pour un même nombre $a$ : $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$. Pour un même exposant : $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$. Exemple : $a^5\times a^2=a^7$ et $(2a{)}^3=8a^3$.

Les racines carrées

Pour $a\ge 0$, la racine carrée $\sqrt{a}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(\sqrt{a}{)}^2=a$. Ainsi $\sqrt{9}=3$ et $\sqrt{0}=0$. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$.

Règles sur les racines carrées

Pour $a\ge 0$ et $b\ge 0$ : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ et, si $b>0$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. On a aussi $\sqrt{a^2}=a$ (pour $a\ge 0$). Exemple : $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$.

Les fractions

Une fraction ne change pas de valeur si on multiplie (ou divise) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$. Addition après mise au même dénominateur : $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$. Produit : $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. Division : $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$.

Les identités remarquables

Ce sont trois égalités à connaître par cœur : $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Elles servent dans les deux sens. Exemple : $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$.

Développer une expression

Développer, c'est transformer un produit en somme en supprimant les parenthèses. On utilise la distributivité : $k(a+b)=ka+kb$ et la double distributivité $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$. Exemple : $(x+2)(x-5)=x^2-3x-10$.

Factoriser une expression

Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit. On cherche un facteur commun ($ka+kb=k(a+b)$) ou on reconnaît une identité remarquable. Exemple : $x^2-9=(x-3)(x+3)$ et $6x+9=3(2x+3)$.