∫ Intégration Question sur 1,5 pts

Calculer une intégrale par parties

Où vont les points dans une IPP : annoncer u, v', u', v et poser la formule sécurise déjà la moitié.

📋 L'énoncé

Soit $I = 0 \int 1 x e^{x} d x$ .

1. Calculer $I$ à l'aide d'une intégration par parties.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0; 1]$ par $f (x) = x e^{x}$ . En déduire, en unités d'aire, l'aire $A$ du domaine délimité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On pose $u (x) = x$ et $v^{'} (x) = e^{x}$ , fonctions de classe $C^{1}$ sur $[0; 1]$ .
+0,25

💡 Le choix de $u$ (le polynôme, qu'on va dériver) et de $v^{'}$ est l'amorce notée : c'est la décision stratégique de l'IPP.
2

D'où $u^{'} (x) = 1$ et $v (x) = e^{x}$ .
+0,25

💡 Calculer $u^{'}$ et une primitive $v$ de $v^{'}$ est explicitement attendu : sans ces quatre quantités l'IPP n'est pas justifiée.
3

Formule : $0 \int 1 u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{0}^{1} - 0 \int 1 u^{'} (x) v (x) d x$ .
+0,25

💡 Énoncer la formule de l'IPP prouve qu'on maîtrise le théorème, indépendamment du calcul.
4

Application : $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x$ . Crochet : $[x e^{x}]_{0}^{1} = 1 \cdot e^{1} - 0 = e$ ; intégrale restante : $0 \int 1 e^{x} d x = e - 1$ .
+0,25

💡 Substituer correctement puis évaluer le crochet et l'intégrale simple sans erreur de signe concentre le calcul.
5

Résultat : $I = e - (e - 1) = 1$ .
+0,25

💡 Le résultat final correct, cohérent avec les étapes, valide tout le raisonnement.
6

Comme $f (x) = x e^{x} \geq 0$ sur $[0; 1]$ , l'aire vaut $A = I = 1$ unité d'aire.
+0,25

💡 Justifier le signe de $f$ avant d'identifier aire et intégrale est exigé : l'aire n'est $I$ que si $f \geq 0$ .

Total de la question 1,5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Une IPP rapporte des points avant même le résultat : la moitié du barème récompense la mise en place, pas le calcul final.

Écris noir sur blanc $u (x)$ , $v^{'} (x)$ , puis $u^{'} (x)$ et $v (x)$ : ces quatre lignes sont notées même si tu te trompes ensuite.
Recopie la formule $[u v]_{a}^{b} - \int u^{'} v d x$ : ce rappel de cours rapporte un point indépendamment de ton intégrale.
Choisis toujours le polynôme ( $x$ ) comme $u$ pour le dériver et le faire disparaître : choisir $u = e^{x}$ fait tourner en rond.
Pour l'aire, écris explicitement « $f \geq 0$ sur $[0; 1]$ donc $A = I$ » et n'oublie pas l'unité d'aire : ce mot vaut des points.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Copie incomplète : l'élève écrit directement $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x$ sans annoncer $u$ , $v^{'}$ , $u^{'}$ , $v$ , puis se trompe de signe sur le crochet et trouve $I = 2 e - 1$ . Il perd toute la mise en place et propage l'erreur jusqu'à l'aire.

Copie complète : l'élève pose $u = x$ , $v^{'} = e^{x}$ , $u^{'} = 1$ , $v = e^{x}$ , énonce la formule, applique l'IPP, calcule le crochet $e$ et l'intégrale $e - 1$ , conclut $I = 1$ , puis justifie $f \geq 0$ pour donner $A = 1$ unité d'aire. Chaque ligne attrape son point.