🔑 Arithmétique Question sur 3 pts

Résoudre une équation diophantienne dans ℤ

Où tombent les points entre PGCD (existence), solution particulière et solution générale par Gauss.

📋 L'énoncé

Résoudre dans $Z \times Z$ l'équation $(E) : 7 x + 5 y = 1$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On calcule $PGCD (7, 5)$ : $7$ et $5$ sont deux nombres premiers distincts, donc $7 \land 5 = 1$ .
+0,25

💡 Le correcteur attend d'abord la justification de l'existence : sans le PGCD, rien ne garantit que l'équation a des solutions.
2

Comme $7 \land 5 = 1$ , $1$ divise $1$ : d'après le théorème de Bézout, l'équation $(E)$ admet (au moins) une solution dans $Z \times Z$ .
+0,25

💡 Conclure explicitement à l'existence avec Bézout rapporte un point même si la suite n'est pas trouvée.
3

On cherche une solution particulière : $7 \times 3 + 5 \times (- 4) = 21 - 20 = 1$ , donc $(x_{0}, y_{0}) = (3, - 4)$ convient.
+0,5

💡 Trouver UN couple solution (par Bézout ou par tâtonnement) est l'étape la plus payante ; elle se vérifie d'un coup d'œil.
4

On vérifie : $7 \times 3 + 5 \times (- 4) = 1$ , donc $(3, - 4)$ est bien solution de $(E)$ .
+0,25

💡 La vérification écrite sécurise les points de la solution particulière et évite de bâtir la suite sur une erreur.
5

Soit $(x, y)$ une solution de $(E)$ . En soustrayant $7 x_{0} + 5 y_{0} = 1$ de $7 x + 5 y = 1$ , on obtient $7 (x - 3) = - 5 (y + 4)$ .
+0,5

💡 La soustraction des deux égalités est le pivot du raisonnement : elle transforme l'équation en une relation de divisibilité.
6

Comme $7 ∣ 5 (y + 4)$ et $7 \land 5 = 1$ , le théorème de Gauss donne $7 ∣ (y + 4)$ , donc il existe $k \in Z$ tel que $y + 4 = - 7 k$ , soit $y = - 4 - 7 k$ .
+0,5

💡 L'application correcte du théorème de Gauss (premier avec ⇒ divise l'autre facteur) est le cœur de la question et très valorisée.
7

En reportant : $7 (x - 3) = - 5 \times (- 7 k) = 35 k$ , d'où $x - 3 = 5 k$ , soit $x = 3 + 5 k$ .
+0,25

💡 Réinjecter pour exprimer $x$ en fonction de $k$ montre que la forme générale est cohérente.
8

Réciproquement tout couple $(3 + 5 k, - 4 - 7 k)$ vérifie $(E)$ , donc $S = {(3 + 5 k, - 4 - 7 k) ∣ k \in Z}$ .
+0,5

💡 La conclusion avec l'ensemble des solutions (et la réciproque) ferme le raisonnement et rapporte les derniers points.

Total de la question 3 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même sans aller au bout, chaque brique du raisonnement est payée séparément. Vise les points faciles dans l'ordre :

Justifie $7 \land 5 = 1$ : une seule ligne te donne l'existence des solutions par Bézout, garantie en début de question.
Trouve UNE solution particulière, même par tâtonnement (essaie de petites valeurs jusqu'à tomber sur $7 \times 3 + 5 \times (- 4) = 1$ ) : c'est l'étape la plus rentable et elle ne demande aucune théorie.
Écris proprement le théorème de Gauss ( $7 \land 5 = 1$ et $7 ∣ 5 (y + 4) \Rightarrow 7 ∣ (y + 4)$ ) : citer le théorème et l'appliquer rapporte même si tu ne conclus pas l'ensemble final.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version partielle (≈ moitié des points) : l'élève écrit $7 \land 5 = 1$ , donne $(3, - 4)$ et s'arrête. Il a l'existence et la solution particulière, mais perd tout le bloc Gauss + forme générale.

Version complète (tous les points) : l'élève justifie $7 \land 5 = 1$ (Bézout), exhibe et vérifie $(3, - 4)$ , soustrait les égalités pour obtenir $7 (x - 3) = - 5 (y + 4)$ , applique Gauss pour $7 ∣ (y + 4)$ , puis conclut $S = {(3 + 5 k, - 4 - 7 k) ∣ k \in Z}$ . La différence se joue entièrement sur le passage de UNE solution à TOUTES les solutions.