Vecteurs : définition et opérations

Les vecteurs sont des objets mathématiques qui représentent un déplacement dans le plan, caractérisés par une direction, un sens et une longueur (appelée norme). On note un vecteur $\overrightarrow{AB}$ pour le vecteur allant du point $A$ vers le point $B$.

Définition et égalité de vecteurs

$A B$	= $Direction, sens, longueur$	Vecteur allant de $A$ vers $B$
$\$	= $Distance entre A et B$	Norme (longueur) du vecteur
$AA = 0$	= $Vecteur de longueur nulle$	Vecteur nul (origine = extrémité)
$A B = C D$	= $A B C D est un parall \overset{e}{ˊ} logramme$	Égalité si même direction, sens et longueur
$B A = - A B$	= $M \overset{e}{ˆ} me direction et longueur$	Vecteur opposé (sens inverse)
$A B = D C$	= $A B C D parall \overset{e}{ˊ} logramme$	Condition d'égalité vectorielle

Relation de Chasles et somme de vecteurs

$A B + B C = A C$	= $Encha \overset{ı}{ˆ} nement de d \overset{e}{ˊ} placements$	Relation de Chasles (composition)
$u + v = v + u$	= $L’ordre n’importe pas$	Commutativité de la somme
$(u + v) + w = u + (v + w)$	= $Pas besoin de parenth \overset{e}{ˋ} ses$	Associativité de la somme
$u + 0 = u$	= $\overset{ˊ}{E} l \overset{e}{ˊ} ment neutre$	Le vecteur nul est neutre
$A B + B A = 0$	= $AA = 0$	Vecteur opposé annule la somme
$A I = \frac{1}{2} (A B + A C)$	= $Formule du milieu$	$I$ milieu du segment $[B C]$

Différence de vecteurs

$u - v = u + (- v)$	= $D \overset{e}{ˊ} finition de la soustraction$	Différence = somme avec l'opposé
$A B - A C = C B$	= $A B + C A = C B$	Différence par relation de Chasles
$B A = - A B$	= $A B - A B = 0$	Vecteur opposé
$M A - M B = B A$	= $M A + B M = B A$	Différence à partir d'un point $M$

Produit d'un vecteur par un nombre (scalaire)

$k u$	= $Vecteur colin \overset{e}{ˊ} aire \overset{a}{ˋ} u$	$k$ est un nombre réel (scalaire)
$\$	= $Longueur multipli \overset{e}{ˊ} e$	La norme est multipliée par $
$k > 0$	= $Sens conserv \overset{e}{ˊ}$	Si $k$ positif : même sens que $u$
$k < 0$	= $Sens invers \overset{e}{ˊ}$	Si $k$ négatif : sens opposé à $u$
$k (u + v) = k u + k v$	= $Propri \overset{e}{ˊ} t \overset{e}{ˊ} de distribution$	Distributivité sur la somme
$(k + h) u = k u + h u$	= $Addition des coefficients$	Distributivité des scalaires
$k (h u) = (k h) u$	= $Produit des coefficients$	Associativité du produit scalaire
$A B = 3 A C$	= $A B = 3 \times A C$	Exemple : $B$ sur la droite $(A C)$

Colinéarité de vecteurs

$u et v colin \overset{e}{ˊ} aires$	= $Vecteurs parall \overset{e}{ˋ} les$	Même direction (ou l'un est nul)
$v = k u$	= $D \overset{e}{ˊ} finition de la colin \overset{e}{ˊ} arit \overset{e}{ˊ}$	Il existe un nombre $k$ tel que...
$A B et C D colin \overset{e}{ˊ} aires$	= $(A B) ∥ (C D)$	Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles
$A B = k A C$	= $B \in (A C)$	Points $A$ , $B$ , $C$ alignés
$k = 0$	= $Vecteur nul$	Si $k = 0$ alors $v = 0$
$k = 1$	= $B = C$	Si $k = 1$ alors $A B = A C$

Coordonnées d'un vecteur dans un repère

$u (x y)$	= $x (abscisse), y (ordonn \overset{e}{ˊ} e)$	Coordonnées de $u$ dans le repère
$A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$	= $A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$	Coordonnées des points $A$ et $B$
$u (x y), v (x^{'} y^{'})$	= $u + v (x + x^{'} y + y^{'})$	Somme de vecteurs
$k u$	= $k u (k x k y)$	Produit par un scalaire $k$
$\$	= $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$	Norme (longueur) avec coordonnées
$I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$	= $Moyenne des coordonn \overset{e}{ˊ} es$	Coordonnées du milieu $I$ de $[A B]$

Colinéarité avec les coordonnées

u (x y), v (x^{'} y^{'})

Condition \overset{a}{ˋ} v \overset{e}{ˊ} rifier

Deux vecteurs dans un repère

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