Trigonométrie dans le triangle rectangle

La trigonométrie dans le triangle rectangle permet de calculer des longueurs et des angles à partir des rapports entre les côtés. Les trois rapports fondamentaux sont le sinus ($\sin$), le cosinus ($\cos$) et la tangente ($\tan$) d'un angle aigu.

Définitions dans le triangle rectangle

$sin (A) = \frac{c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$	= $sin (A) = \frac{B C}{A C}$	L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit
$cos (A) = \frac{c o ˆ t e ˊ adjacent}{hypot e ˊ nuse}$	= $cos (A) = \frac{A B}{A C}$	Le côté adjacent est le côté de l'angle qui n'est pas l'hypoténuse
$tan (A) = \frac{c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{c o ˆ t e ˊ adjacent}$	= $tan (A) = \frac{B C}{A B}$	La tangente est le rapport des deux côtés de l'angle droit
$tan (A) = \frac{sin ( A )}{cos ( A )}$	= $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}}$	Relation fondamentale entre les trois rapports
$sin^{2} (A) + cos^{2} (A) = 1$	= $sin^{2} (A) + cos^{2} (A) = 1$	Formule de Pythagore trigonométrique (niveau 3ème)

Calcul d'une longueur connaissant un angle

$B C = A C \times sin (A)$	= $oppos \overset{e}{ˊ} = hypot \overset{e}{ˊ} nuse \times sin (angle)$	Si on connaît l'hypoténuse et un angle
$A B = A C \times cos (A)$	= $adjacent = hypot \overset{e}{ˊ} nuse \times cos (angle)$	Si on connaît l'hypoténuse et un angle
$B C = A B \times tan (A)$	= $oppos \overset{e}{ˊ} = adjacent \times tan (angle)$	Si on connaît le côté adjacent et un angle
$A C = \frac{B C}{sin ( A )}$	= $hypot \overset{e}{ˊ} nuse = \frac{oppos e ˊ}{sin ( angle )}$	Si on connaît le côté opposé et un angle
$A C = \frac{A B}{cos ( A )}$	= $hypot \overset{e}{ˊ} nuse = \frac{adjacent}{cos ( angle )}$	Si on connaît le côté adjacent et un angle
$A B = \frac{B C}{tan ( A )}$	= $adjacent = \frac{oppos e ˊ}{tan ( angle )}$	Si on connaît le côté opposé et un angle

Calcul d'un angle connaissant des longueurs

$A = arcsin (\frac{B C}{A C})$	= $angle = arcsin (\frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse})$	Fonction réciproque du sinus (touche $sin^{- 1}$ sur la calculatrice)
$A = arccos (\frac{A B}{A C})$	= $angle = arccos (\frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse})$	Fonction réciproque du cosinus (touche $cos^{- 1}$ )
$A = arctan (\frac{B C}{A B})$	= $angle = arctan (\frac{oppos e ˊ}{adjacent})$	Fonction réciproque de la tangente (touche $tan^{- 1}$ )
$A + B = 90°$	= $A + B = 90°$	Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires

Valeurs remarquables à connaître par cœur

$sin (30°) = \frac{1}{2}$	= $0, 5$	Angle de 30° ou $\frac{π}{6}$ rad
$cos (30°) = \frac{3}{2}$	= $\approx 0, 866$	Valeur exacte avec racine carrée
$tan (30°) = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$	= $\approx 0, 577$	Aussi noté $\frac{3}{3}$ sous forme rationalisée
$sin (45°) = \frac{2}{2}$	= $\approx 0, 707$	Angle de 45° ou $\frac{π}{4}$ rad
$cos (45°) = \frac{2}{2}$	= $\approx 0, 707$	Pour 45°, sinus et cosinus sont égaux
$tan (45°) = 1$	= $1$	Car $sin (45°) = cos (45°)$
$sin (60°) = \frac{3}{2}$	= $\approx 0, 866$	Angle de 60° ou $\frac{π}{3}$ rad
$cos (60°) = \frac{1}{2}$	= $0, 5$	On remarque : $sin (60°) = cos (30°)$
$tan (60°) = 3$	= $\approx 1, 732$	Valeur exacte avec racine carrée

Relations entre angles complémentaires

$sin (90° - α) = cos (α)$	= $sin (90° - α) = cos (α)$	Le sinus d'un angle égale le cosinus de son complémentaire
$cos (90° - α) = sin (α)$	= $cos (90° - α) = sin (α)$	Le cosinus d'un angle égale le sinus de son complémentaire
$sin (60°) = cos (30°) = \frac{3}{2}$	= $\frac{3}{2}$	Application numérique : $60° + 30° = 90°$
$sin (30°) = cos (60°) = \frac{1}{2}$	= $\frac{1}{2}$	Application numérique : $30° + 60° = 90°$
$tan (90° - α) = \frac{1}{tan ( α )}$	= $tan (90° - α) = \frac{1}{tan ( α )}$	La tangente d'un angle est l'inverse de celle de son complémentaire

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