Théorème de Thalès & réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque permettent de calculer des longueurs dans des configurations de triangles et de droites parallèles. Ces outils sont essentiels pour les agrandissements, les réductions et les calculs de rapports de proportionnalité géométriques.

Théorème de Thalès - Configuration de base

$Si (B C) ∥ (M N)$	= $alors les rapports sont \overset{e}{ˊ} gaux$	Les droites $(B C)$ et $(M N)$ sont parallèles
$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$	= $rapports \overset{e}{ˊ} gaux$	Égalité des trois rapports de longueurs
$\frac{A B}{A M} = \frac{A C}{A N} = \frac{B C}{M N}$	= $rapports \overset{e}{ˊ} gaux$	On peut aussi inverser tous les rapports
$A M \times B C = A B \times M N$	= $produits \overset{e}{ˊ} gaux$	Produit en croix utile pour les calculs
$A N \times B C = A C \times M N$	= $produits \overset{e}{ˊ} gaux$	Autre produit en croix possible
$A M \times A C = A N \times A B$	= $produits \overset{e}{ˊ} gaux$	Troisième produit en croix

Calculer une longueur avec Thalès

$M N = \frac{A M \times B C}{A B}$	= $longueur trouv \overset{e}{ˊ} e$	Pour calculer $M N$ si on connaît $A M$ , $A B$ et $B C$
$A M = \frac{A B \times A N}{A C}$	= $longueur trouv \overset{e}{ˊ} e$	Pour calculer $A M$ si on connaît $A B$ , $A N$ et $A C$
$B C = \frac{A B \times M N}{A M}$	= $longueur trouv \overset{e}{ˊ} e$	Pour calculer $B C$ si on connaît $A B$ , $A M$ et $M N$
$A B = \frac{A M \times A C}{A N}$	= $longueur trouv \overset{e}{ˊ} e$	Pour calculer $A B$ si on connaît $A M$ , $A C$ et $A N$
$Exemple : A M = 3 cm, A B = 5 cm, B C = 7 cm$	= $M N = \frac{3 \times 7}{5} = 4, 2 cm$	On cherche $M N$ avec $(B C) ∥ (M N)$

Réciproque du théorème de Thalès

$Si \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$	= $alors (B C) ∥ (M N)$	Si les rapports sont égaux
$V \overset{e}{ˊ} rifier : M \in [A B) et N \in [A C)$	= $alignement requis$	Condition : $M$ et $N$ du même côté de $A$
$Calculer \frac{A M}{A B} et \frac{A N}{A C}$	= $comparer les valeurs$	Première étape : calculer les deux rapports
$Si \overset{e}{ˊ} galit \overset{e}{ˊ} des rapports$	= $(B C) ∥ (M N)$	Si les rapports sont égaux (au millième près)
$Si in \overset{e}{ˊ} galit \overset{e}{ˊ} des rapports$	= $(B C) non parall \overset{e}{ˋ} le \overset{a}{ˋ} (M N)$	Si les rapports sont différents
$Exemple : A M = 2, 4; A B = 6; A N = 3, 6; A C = 9$	= $(B C) ∥ (M N)$	$\frac{2 , 4}{6} = 0, 4$ et $\frac{3 , 6}{9} = 0, 4$

Agrandissement et réduction - Rapports

$k = \frac{longueur image}{longueur objet}$	= $coefficient k$	$k$ est le rapport d'agrandissement ou de réduction
$k > 1$	= $la figure grandit$	Si $k > 1$ : agrandissement
$0 < k < 1$	= $la figure r \overset{e}{ˊ} tr \overset{e}{ˊ} cit$	Si $0 < k < 1$ : réduction
$k = 1$	= $isom \overset{e}{ˊ} trie$	Si $k = 1$ : conservation des longueurs
$Longueur image = k \times longueur objet$	= $nouvelle longueur$	Pour calculer une longueur après transformation
$Exemple : k = 2, 5 et A B = 4 cm$	= $A^{'} B^{'} = 2, 5 \times 4 = 10 cm$	Agrandissement de rapport $2, 5$
$Exemple : k = 0, 6 et C D = 15 cm$	= $C^{'} D^{'} = 0, 6 \times 15 = 9 cm$	Réduction de rapport $0, 6$

Propriétés des agrandissements et réductions

$\frac{P e ˊ rim e ˋ tre image}{P e ˊ rim e ˋ tre objet} = k$	= $m \overset{e}{ˆ} me rapport$	Le rapport des périmètres égale $k$
$\frac{Aire image}{Aire objet} = k^{2}$	= $rapport au carr \overset{e}{ˊ}$	Le rapport des aires égale $k^{2}$
$Les angles sont conserv \overset{e}{ˊ} s$	= $angles identiques$	Un angle de $50°$ reste un angle de $50°$
$Exemple : k = 3 et P = 12 cm$	= $P^{'} = 3 \times 12 = 36 cm$	Périmètre de l'image
$Exemple : k = 3 et A = 8 cm^{2}$	= $A^{'} = 3^{2} \times 8 = 72 cm^{2}$	Aire de l'image
$Exemple : k = 0, 5 et A = 20 cm^{2}$	= $A^{'} = (0, 5)^{2} \times 20 = 5 cm^{2}$	Réduction d'aire

Configuration "papillon" avec droites parallèles

$Si (B C) ∥ (D E) et A sommet commun$	= $Thal \overset{e}{ˋ} s s’applique$	Configuration avec sommet commun $A$
$\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E} = \frac{B C}{D E}$	= $rapports \overset{e}{ˊ} gaux$	Égalité des trois rapports
$A B \times D E = A D \times B C$	= $produits \overset{e}{ˊ} gaux$	Produit en croix dans cette configuration
$A C \times D E = A E \times B C$	= $produits \overset{e}{ˊ} gaux$	Autre produit en croix
$Exemple : A B = 4; A D = 6; A C = 5$	= $A E = \frac{6 \times 5}{4} = 7, 5$	On cherche $A E$ sachant que $(B C) ∥ (D E)$

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