Statistiques : indicateurs de position

Cette fiche regroupe les formules et définitions essentielles des statistiques descriptives au collège : calcul de la moyenne, identification de la médiane, du mode, de l'étendue, des quartiles, des fréquences et des effectifs cumulés. Ces outils permettent d'analyser et de représenter des séries de données.

Moyenne et effectifs

$Moyenne = \overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$	= $\frac{Somme des valeurs}{Nombre de valeurs}$	$n$ est l'effectif total
$\overset{x}{ˉ} = \frac{i = 1 \sum n x _{i}}{n}$	= $Moyenne arithm \overset{e}{ˊ} tique$	Notation avec le symbole $\sum$ (somme)
$\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} \times v _{1} + n _{2} \times v _{2} + \dots + n _{p} \times v _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$	= $Moyenne pond \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} e$	Moyenne avec effectifs $n_{i}$ et valeurs $v_{i}$
$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum ( n _{i} \times v _{i} )}{\sum n _{i}}$	= $\frac{Somme des produits}{Effectif total}$	Forme condensée de la moyenne pondérée
$Effectif total = N = \sum n_{i}$	= $N$	Somme de tous les effectifs partiels

Médiane et quartiles

$M \overset{e}{ˊ} diane = M_{e}$	= $Valeur centrale$	Valeur qui partage la série ordonnée en deux parties égales
$M_{e} = x_{\frac{n + 1}{2}}$	= $Valeur de rang \frac{n + 1}{2}$	Si $n$ est impair, médiane = valeur du milieu
$M_{e} = \frac{x _{\frac{n}{2}} + x _{\frac{n}{2} + 1}}{2}$	= $Moyenne des rangs \frac{n}{2} et \frac{n}{2} + 1$	Si $n$ est pair, moyenne des 2 valeurs centrales
$Q_{1}$	= $Quartile inf \overset{e}{ˊ} rieur$	Premier quartile : 25% des valeurs sont inférieures à $Q_{1}$
$Q_{2} = M_{e}$	= $M \overset{e}{ˊ} diane$	Deuxième quartile = médiane (50%)
$Q_{3}$	= $Quartile sup \overset{e}{ˊ} rieur$	Troisième quartile : 75% des valeurs sont inférieures à $Q_{3}$
$Intervalle interquartile = Q_{3} - Q_{1}$	= $Q_{3} - Q_{1}$	Mesure la dispersion des 50% centraux

Mode et étendue

$Mode$	= $Valeur la plus fr \overset{e}{ˊ} quente$	Valeur (ou classe) ayant le plus grand effectif
$\overset{ˊ}{E} tendue = e = x_{m a x} - x_{m i n}$	= $x_{m a x} - x_{m i n}$	Différence entre la plus grande et la plus petite valeur
$e = Maximum - Minimum$	= $Amplitude de la s \overset{e}{ˊ} rie$	Mesure la dispersion totale de la série

Fréquences

$f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$	= $Nombre compris entre 0 et 1$	Fréquence de la valeur $i$ (forme décimale)
$f_{i} \times 100$	= $Pourcentage entre 0 et 100$	Fréquence en pourcentage
$\sum f_{i} = 1$	= $1$	La somme de toutes les fréquences vaut 1
$\sum (f_{i} \times 100) = 100$	= $100%$	La somme des fréquences en % vaut 100%
$n_{i} = f_{i} \times N$	= $Effectif de la valeur i$	Calcul de l'effectif à partir de la fréquence

Effectifs cumulés croissants

$ECC_{1} = n_{1}$	= $n_{1}$	Premier effectif cumulé croissant = premier effectif
$ECC_{2} = n_{1} + n_{2}$	= $n_{1} + n_{2}$	Somme des deux premiers effectifs
$ECC_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{i}$	= $k = 1 \sum i n_{k}$	Somme des effectifs jusqu'au rang $i$
$ECC_{i} = ECC_{i - 1} + n_{i}$	= $ECC pr \overset{e}{ˊ} c \overset{e}{ˊ} dent + n_{i}$	Formule de récurrence
$Dernier ECC = N$	= $N$	Le dernier effectif cumulé = effectif total
$Fr \overset{e}{ˊ} quence cumul \overset{e}{ˊ} e croissante = FCC_{i} = \frac{ECC _{i}}{N}$	= $Entre 0 et 1$	En forme décimale ou pourcentage

Effectifs cumulés décroissants

$ECD_{1} = N$	= $N$	Premier effectif cumulé décroissant = effectif total
$ECD_{2} = N - n_{1}$	= $N - n_{1}$	Total moins le premier effectif
$ECD_{i} = N - (n_{1} + n_{2} + \dots + n_{i - 1})$	= $N - k = 1 \sum i - 1 n_{k}$	Total moins la somme des effectifs précédents
$ECD_{i} = ECD_{i - 1} - n_{i - 1}$	= $ECD pr \overset{e}{ˊ} c \overset{e}{ˊ} dent - n_{i - 1}$	Formule de récurrence décroissante
$Dernier ECD = n_{p}$	= $n_{p}$	Le dernier effectif cumulé décroissant = dernier effectif

Représentations graphiques

$Diagramme en b \overset{a}{ˆ} tons$	= $Variables discr \overset{e}{ˋ} tes$	Hauteur proportionnelle à l'effectif ou fréquence
$Diagramme circulaire (camembert)$	= $Angles proportionnels$	Angle = $\frac{n _{i}}{N} \times 360°$ pour chaque secteur
$Histogramme$	= $Classes continues$	Aires des rectangles proportionnelles aux effectifs/fréquences
$Polygone des effectifs$	= $Ligne bris \overset{e}{ˊ} e$	Relie les milieux des sommets de l'histogramme
$Diagramme en bo \overset{ı}{ˆ} te (box-plot)$	= $Bo \overset{ı}{ˆ} te \overset{a}{ˋ} moustaches$	Représente $Min$ , $Q_{1}$ , $M_{e}$ , $Q_{3}$ , $Max$

Formules pour classes et centres

$Amplitude de classe = a_{i} = borne sup. - borne inf.$	= $a_{i}$	Largeur de chaque classe
$Centre de classe = c_{i} = \frac{borne inf. + borne sup.}{2}$	= $c_{i}$	Milieu de la classe pour calculs
$\overset{x}{ˉ} \approx \frac{\sum ( n _{i} \times c _{i} )}{N}$	= $Moyenne approximative$	Moyenne avec données groupées en classes
$Densit \overset{e}{ˊ} = d_{i} = \frac{n _{i}}{a _{i}}$	= $\frac{Effectif}{Amplitude}$	Pour histogramme à classes inégales

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