Théorème de Pythagore & réciproque

Le théorème de Pythagore est un résultat fondamental de la géométrie qui relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il permet de calculer la longueur d'un côté manquant et de vérifier si un triangle est rectangle. Son étude en 4ème comprend le théorème direct, sa réciproque et sa contraposée.

Théorème de Pythagore (direct)

$Si A B C rectangle en A$	= $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$	Hypothèse : le triangle est rectangle
$Hypot \overset{e}{ˊ} nuse : B C$	= $Le plus long c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ}$	Le côté opposé à l'angle droit
$C \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} s de l’angle droit : A B et A C$	= $Les cath \overset{e}{ˋ} tes$	Les deux côtés adjacents à l'angle droit
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$	= $Carr \overset{e}{ˊ} de l’hypot \overset{e}{ˊ} nuse = somme des carr \overset{e}{ˊ} s$	Formule générale avec $B C$ hypoténuse
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$	= $Forme simplifi \overset{e}{ˊ} e$	Notation avec $a$ , $b$ cathètes et $c$ hypoténuse
$Triangle rectangle en C$	= $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$	Si l'angle droit change de sommet

Calcul de l'hypoténuse

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$	= $B C = A B^{2} + A C^{2}$	On cherche $B C$ (l'hypoténuse)
$A B = 3 cm et A C = 4 cm$	= $B C = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5 cm$	Exemple numérique
$B C^{2} = 6^{2} + 8^{2}$	= $B C^{2} = 36 + 64 = 100$	Calcul avec des valeurs
$B C = 100$	= $B C = 10$	On prend la racine carrée positive
$A B = 5 et A C = 7$	= $B C = 25 + 49 = 74 \approx 8, 60$	Exemple avec valeur non entière
$c = a^{2} + b^{2}$	= $Toujours positif$	Formule générale pour l'hypoténuse

Calcul d'un côté de l'angle droit

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$	= $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$	On cherche $A B$ (un côté de l'angle droit)
$A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$	= $A B = B C^{2} - A C^{2}$	Isoler le carré du côté cherché
$B C = 13 et A C = 5$	= $A B = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25$	Exemple : on cherche $A B$
$A B = 144$	= $A B = 12$	Simplification
$B C = 10 et A B = 6$	= $A C = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8$	On cherche $A C$
$a = c^{2} - b^{2}$	= $c > b obligatoirement$	Formule générale pour une cathète
$B C^{2} - A C^{2} < 0$	= $Erreur ! V \overset{e}{ˊ} rifier les donn \overset{e}{ˊ} es$	Si résultat négatif

Réciproque du théorème de Pythagore

$Si B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$	= $Alors A B C rectangle en A$	Hypothèse : l'égalité de Pythagore est vraie
$A B = 6, A C = 8, B C = 10$	= $1 0^{2} = 100 et 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$	Exemple : vérifier si rectangle
$100 = 100$	= $Le triangle est rectangle en A$	L'égalité est vérifiée
$Le plus grand c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} : B C = 10$	= $B C est l’hypot \overset{e}{ˊ} nuse$	Toujours mettre le carré du plus grand côté seul
$A B = 5, A C = 6, B C = 7$	= $7^{2} = 49 et 5^{2} + 6^{2} = 61$	Contre-exemple
$49 \neq = 61$	= $Le triangle n’est pas rectangle$	L'égalité n'est pas vérifiée
$c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow angle droit$	= $Angle droit oppos \overset{e}{ˊ} \overset{a}{ˋ} c$	$c$ doit être le plus grand côté

Contraposée du théorème de Pythagore

$Si B C^{2} \neq = A B^{2} + A C^{2}$	= $Alors A B C n’est pas rectangle$	Hypothèse : l'égalité n'est pas vérifiée
$A B = 3, A C = 4, B C = 6$	= $6^{2} = 36 et 3^{2} + 4^{2} = 25$	Vérification
$36 \neq = 25$	= $Le triangle n’est pas rectangle$	L'égalité n'est pas vérifiée
$B C^{2} > A B^{2} + A C^{2}$	= $Triangle obtusangle en A$	Si le carré du plus grand côté est trop grand
$B C^{2} < A B^{2} + A C^{2}$	= $Triangle acutangle$	Si le carré du plus grand côté est trop petit
$c^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$	= $Pas de triangle rectangle$	Forme générale de la contraposée

Méthode de rédaction et pièges à éviter

$\overset{ˊ}{E} tape 1 : Identifier le triangle rectangle$	= $Nommer correctement les sommets$	Repérer l'angle droit ou le vérifier
$\overset{ˊ}{E} tape 2 : Appliquer le th \overset{e}{ˊ} or \overset{e}{ˋ} me$	= $R \overset{e}{ˊ} daction compl \overset{e}{ˋ} te exig \overset{e}{ˊ} e$	Écrire : "D'après le théorème de Pythagore..."
$\overset{ˊ}{E} tape 3 : Remplacer par les valeurs$	= $Effectuer les calculs$	Substituer les longueurs connues
$Pi \overset{e}{ˋ} ge : B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$	= $B C \neq = A B + A C$	Ne jamais oublier les exposants $^{2}$
$9 + 16 = 5$	= $9 + 16 = 25 = 5 ✓$	Attention : ne pas confondre
$9 + 16 = 7$	= $a + b \neq = a + b$	Ce n'est pas pareil !
$Unit \overset{e}{ˊ} s$	= $A B = 5 cm (pas juste 5)$	Toujours donner l'unité dans la réponse
$Hypot \overset{e}{ˊ} nuse$	= $Oppos \overset{e}{ˊ} \overset{a}{ˋ} l’angle droit$	C'est toujours le plus long côté

📐 Tu veux t'entraîner sur ces formules ?

Découvre nos exercices corrigés sur théorème de pythagore & réciproque.

Voir les cours →