Puissances : règles et formules

Les puissances permettent d'écrire de manière compacte des produits de facteurs identiques. Elles suivent des règles de calcul précises et sont essentielles pour la notation scientifique : $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.

Définitions et puissances entières positives

$a^{n} = n fois a \times a \times \dots \times a$	= $a^{n}$	$n$ facteurs égaux à $a$
$a^{1}$	= $a$	Une puissance 1 égale le nombre lui-même
$a^{0}$	= $1$	Toute puissance 0 vaut 1 (si $a \neq = 0$ )
$2^{5}$	= $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$	Exemple : cinq facteurs 2
$(- 3)^{4}$	= $(- 3) \times (- 3) \times (- 3) \times (- 3) = 81$	Exposant pair : résultat positif
$(- 2)^{3}$	= $(- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$	Exposant impair : résultat négatif
$- 2^{4}$	= $- (2^{4}) = - 16$	Attention : seul 2 est élevé à la puissance

Puissances entières négatives

$a^{- n}$	= $\frac{1}{a ^{n}}$	Puissance négative = inverse de la puissance positive
$1 0^{- 3}$	= $\frac{1}{1 0 ^{3}} = \frac{1}{1000} = 0, 001$	Exemple avec puissance de 10 négative
$2^{- 4}$	= $\frac{1}{2 ^{4}} = \frac{1}{16}$	Exemple avec base 2
$\frac{1}{a ^{- n}}$	= $a^{n}$	Inverse d'une puissance négative
$5^{- 2}$	= $\frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$	Calcul avec exposant négatif
$(\frac{2}{3})^{- 2}$	= $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$	Puissance négative d'une fraction

Produit et quotient de puissances de même base

$a^{m} \times a^{n}$	= $a^{m + n}$	Produit : on additionne les exposants
$\frac{a ^{m}}{a ^{n}}$	= $a^{m - n}$	Quotient : on soustrait les exposants
$1 0^{5} \times 1 0^{3}$	= $1 0^{8}$	Exemple : $5 + 3 = 8$
$1 0^{7} \times 1 0^{- 4}$	= $1 0^{3}$	Avec exposant négatif : $7 + (- 4) = 3$
$\frac{1 0 ^{6}}{1 0 ^{2}}$	= $1 0^{4}$	Division : $6 - 2 = 4$
$\frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{7}}$	= $1 0^{- 4}$	Exposant négatif au résultat : $3 - 7 = - 4$
$2^{5} \times 2^{- 3} \times 2^{2}$	= $2^{4} = 16$	Plusieurs puissances : $5 + (- 3) + 2 = 4$

Puissance d'un produit et d'un quotient

$(a \times b)^{n}$	= $a^{n} \times b^{n}$	Puissance d'un produit
$(\frac{a}{b})^{n}$	= $\frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	Puissance d'un quotient (si $b \neq = 0$ )
$(2 \times 5)^{3}$	= $2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1000$	Exemple avec produit
$(10 \times 3)^{4}$	= $1 0^{4} \times 3^{4}$	Distributivité de l'exposant
$(\frac{3}{4})^{2}$	= $\frac{3 ^{2}}{4 ^{2}} = \frac{9}{16}$	Exemple avec quotient
$(\frac{2}{5})^{- 3}$	= $(\frac{5}{2})^{3} = \frac{125}{8}$	Exposant négatif d'une fraction

Puissance de puissance

$(a^{m})^{n}$	= $a^{m \times n}$	Puissance de puissance : on multiplie les exposants
$(1 0^{3})^{4}$	= $1 0^{12}$	Exemple : $3 \times 4 = 12$
$(2^{5})^{2}$	= $2^{10} = 1024$	Multiplication des exposants : $5 \times 2 = 10$
$(1 0^{- 2})^{3}$	= $1 0^{- 6}$	Avec exposant négatif : $(- 2) \times 3 = - 6$
$(a^{2})^{- 3}$	= $a^{- 6} = \frac{1}{a ^{6}}$	Deux exposants négatifs ou l'un négatif
$((3^{2})^{3})^{2}$	= $3^{12}$	Puissances successives : $2 \times 3 \times 2 = 12$

Puissances de 10 - Multiples et sous-multiples

$1 0^{3}$	= $1000$	Mille
$1 0^{6}$	= $1000000$	Un million
$1 0^{9}$	= $1000000000$	Un milliard
$1 0^{- 1}$	= $0, 1$	Un dixième
$1 0^{- 2}$	= $0, 01$	Un centième
$1 0^{- 3}$	= $0, 001$	Un millième
$1 0^{- 6}$	= $0, 000001$	Un millionième
$3, 7 \times 1 0^{4}$	= $37000$	Décalage de la virgule de 4 rangs vers la droite

Notation scientifique - Définition

$a \times 1 0^{n}$	= $notation scientifique$	Avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif
$5, 4 \times 1 0^{7}$	= $correct$	$a = 5, 4$ est entre 1 et 10
$54 \times 1 0^{6}$	= $non scientifique$	$a = 54$ n'est pas entre 1 et 10
$0, 54 \times 1 0^{8}$	= $non scientifique$	$a = 0, 54$ est inférieur à 1
$3, 2 \times 1 0^{- 5}$	= $correct$	Exposant négatif autorisé
$1 \times 1 0^{12}$	= $correct$	$a = 1$ est dans l'intervalle

Conversion en notation scientifique

$450000$	= $4, 5 \times 1 0^{5}$	Déplacer la virgule de 5 rangs vers la gauche
$73000000$	= $7, 3 \times 1 0^{7}$	Compter les rangs jusqu'au premier chiffre significatif
$0, 00032$	= $3, 2 \times 1 0^{- 4}$	Déplacer la virgule de 4 rangs vers la droite
$0, 000007$	= $7 \times 1 0^{- 6}$	Exposant négatif pour les nombres inférieurs à 1
$250 \times 1 0^{6}$	= $2, 5 \times 1 0^{2 + 6} = 2, 5 \times 1 0^{8}$	D'abord : $250 = 2, 5 \times 1 0^{2}$

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