6ème5ème

Proportionnalité & pourcentages

La proportionnalité est une notion fondamentale qui permet de résoudre de nombreux problèmes du quotidien. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Tableaux de proportionnalité - Propriétés fondamentales

$Coefficient : k = \frac{y}{x}$	= $k est constant$	On divise une valeur par celle qui correspond
$x_{1} \times k = y_{1}$	= $x_{2} \times k = y_{2}$	Multiplication par le coefficient
$\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$	= $x_{1} \times y_{2} = x_{2} \times y_{1}$	Égalité des quotients (produits en croix)
$x_{1} + x_{2} \to y_{1} + y_{2}$	= $Proportionnalit \overset{e}{ˊ} conserv \overset{e}{ˊ} e$	Additivité des colonnes
$x_{1} \times n \to y_{1} \times n$	= $Proportionnalit \overset{e}{ˊ} conserv \overset{e}{ˊ} e$	Multiplication d'une colonne par un nombre
$Si x double$	= $Lin \overset{e}{ˊ} arit \overset{e}{ˊ}$	Alors $y$ double aussi

Règle de trois - Calcul de la quatrième proportionnelle

$\begin{array}{$	= $y_{2} = \frac{x _{2} \times y _{1}}{x _{1}}$	Tableau incomplet à compléter
$y_{2} = x_{2} \times \frac{y _{1}}{x _{1}}$	= $On calcule k puis k \times x_{2}$	Méthode du coefficient
$x_{1} \times y_{2} = x_{2} \times y_{1}$	= $y_{2} = \frac{x _{2} \times y _{1}}{x _{1}}$	Produits en croix
$3 kg \to 12, 90 €$	= $\frac{5 \times 12 , 90}{3} = 21, 50 €$	Exemple : prix de 5 kg
$4 h \to 200 km$	= $\frac{7 \times 200}{4} = 350 km$	Exemple : distance en 7 h

Pourcentages - Définitions et calculs de base

$t % = \frac{t}{100}$	= $25% = \frac{25}{100} = 0, 25$	Un pourcentage est une fraction sur 100
$t % de A = \frac{t}{100} \times A$	= $A \times \frac{t}{100}$	Calcul d'un pourcentage d'une quantité
$20% de 150$	= $\frac{20}{100} \times 150 = 30$	Exemple de calcul direct
$\frac{Partie}{Total} \times 100$	= $Donne le pourcentage$	Calcul d'un pourcentage (taux)
$\frac{45}{180} \times 100$	= $25%$	Exemple : 45 sur 180
$50% = \frac{1}{2}$	= $25% = \frac{1}{4}; 75% = \frac{3}{4}$	Pourcentages usuels
$10% = \frac{1}{10}$	= $1% = \frac{1}{100}$	Diviser par 10

Pourcentages - Augmentations et réductions

$Augmenter de t %$	= $\times (1 + \frac{t}{100})$	Coefficient multiplicateur
$Augmenter de 20%$	= $\times 1, 20$	Exemple d'augmentation
$80 € + 20%$	= $80 \times 1, 20 = 96 €$	Prix après augmentation
$R \overset{e}{ˊ} duire de t %$	= $\times (1 - \frac{t}{100})$	Coefficient multiplicateur
$R \overset{e}{ˊ} duire de 30%$	= $\times 0, 70$	Exemple de réduction
$50 € - 15%$	= $50 \times 0, 85 = 42, 50 €$	Prix après réduction
$R \overset{e}{ˊ} duction de moiti \overset{e}{ˊ}$	= $\times 0, 50$	Diviser par 2 ou retirer 50%

Échelles et plans

$\overset{ˊ}{E} chelle = \frac{Distance sur le plan}{Distance r e ˊ elle}$	= $Nombre sans unit \overset{e}{ˊ}$	Rapport entre plan et réalité
$\frac{1}{100} ou 1 : 100$	= $1 cm repr \overset{e}{ˊ} sente 100 cm$	Notation d'une échelle
$\overset{ˊ}{E} chelle \frac{1}{50 000}$	= $1 cm \to 500 m$	1 cm sur le plan représente 50 000 cm dans la réalité
$d_{plan} = d_{r \overset{e}{ˊ} elle} \times \overset{e}{ˊ} chelle$	= $Penser aux conversions$	Calcul de la distance sur le plan
$d_{r \overset{e}{ˊ} elle} = \frac{d _{plan}}{e ˊ chelle}$	= $Bien convertir les unit \overset{e}{ˊ} s$	Calcul de la distance réelle
$3 cm \overset{a}{ˋ} \frac{1}{200}$	= $3 \times 200 = 600 cm = 6 m$	Distance réelle correspondante
$2, 5 km \overset{a}{ˋ} \frac{1}{25 000}$	= $250000 \times \frac{1}{25 000} = 10 cm$	Distance sur le plan

Vitesse, durée et distance (proportionnalité)

$v = \frac{d}{t}$	= $Vitesse = \frac{Distance}{Temps}$	Formule de la vitesse
$d = v \times t$	= $Distance = Vitesse \times Temps$	Calcul de la distance parcourue
$t = \frac{d}{v}$	= $Temps = \frac{Distance}{Vitesse}$	Calcul de la durée
$v = 60 km/h sur 3 h$	= $d = 60 \times 3 = 180 km$	Distance parcourue
$150 km \overset{a}{ˋ} 50 km/h$	= $t = \frac{150}{50} = 3 h$	Durée du trajet
$240 km en 4 h$	= $v = \frac{240}{4} = 60 km/h$	Vitesse moyenne

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