Probabilités : calcul et dénombrement

Les probabilités permettent de mesurer les chances qu'un événement se réalise lors d'une expérience aléatoire. On note $P(A)$ la probabilité d'un événement $A$, toujours comprise entre $0$ et $1$.

Probabilité d'un événement

$P (A) = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$	= $0 \leq P (A) \leq 1$	Formule fondamentale de probabilité (équiprobabilité)
$P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$	= $Fraction irr \overset{e}{ˊ} ductible$	Avec $Ω$ l'univers (ensemble de toutes les issues)
$P (\overset{e}{ˊ} v \overset{e}{ˊ} nement certain) = 1$	= $100 %$	L'événement se réalise toujours
$P (\overset{e}{ˊ} v \overset{e}{ˊ} nement impossible) = 0$	= $0 %$	L'événement ne peut jamais se réaliser
$P (A) = \frac{a}{b} = a \div b$	= $Nombre d \overset{e}{ˊ} cimal$	Conversion en décimal pour interprétation
$P (A) \times 100$	= $... %$	Conversion en pourcentage

Événements contraires

$\overline{A} ou A^{c}$	= $"non A "$	Notation de l'événement contraire de $A$
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$	= $P (A) + P (\overline{A}) = 1$	Formule fondamentale des contraires
$P (A) = 1 - P (\overline{A})$	= $Probabilit \overset{e}{ˊ} de A$	Formule réciproque utile pour calculer $P (A)$
$A \cap \overline{A} = \emptyset$	= $Ensemble vide$	$A$ et $\overline{A}$ sont disjoints (incompatibles)
$A \cup \overline{A} = Ω$	= $\overset{ˊ}{E} v \overset{e}{ˊ} nement certain$	$A$ ou $\overline{A}$ couvre tout l'univers

Union et intersection d'événements

$A \cup B$	= $Union$	" $A$ ou $B$ " : au moins un des deux se réalise
$A \cap B$	= $Intersection$	" $A$ et $B$ " : les deux se réalisent simultanément
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	= $Probabilit \overset{e}{ˊ} de l’union$	Formule générale de l'union (3ème)
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$	= $Cas particulier$	Si $A$ et $B$ incompatibles : $A \cap B = \emptyset$
$A \cap B = \emptyset$	= $P (A \cap B) = 0$	Événements incompatibles (disjoints)
$P (Ω) = \sum P (issues) = 1$	= $1$	Somme des probabilités de toutes les issues

Tableau à double entrée

$P (A \cap B)$	= $Effectif ou probabilit \overset{e}{ˊ}$	Case du tableau à l'intersection ligne $A$ et colonne $B$
$P (A) = colonnes \sum P (A \cap B_{i})$	= $Total ligne$	Somme sur la ligne $A$ (loi des probabilités totales)
$P (B) = lignes \sum P (A_{i} \cap B)$	= $Total colonne$	Somme sur la colonne $B$
$Total g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ral = 1$	= $P (Ω) = 1$	Somme de toutes les cases (en probabilités)
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	= $Formule d’inclusion-exclusion$	Utiliser les totaux ligne/colonne et l'intersection
$n (A \cap B)$	= $P (A \cap B) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( Ω )}$	En effectifs : convertir en probabilité par $\div n (Ω)$

Arbre de probabilités (expériences successives)

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$	= $Multiplication le long du chemin$	Probabilité d'un chemin (règle du produit)
$P_{A} (B)$	= $Probabilit \overset{e}{ˊ} sur branche$	Probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ réalisé
$\sum P (branches issues d’un n œ ud) = 1$	= $1$	Somme des probabilités partant d'un nœud
$P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B)$	= $Somme des chemins menant \overset{a}{ˋ} B$	Formule des probabilités totales (arbre 1er niveau)
$P (chemin) = \prod P (branches)$	= $Probabilit \overset{e}{ˊ} du r \overset{e}{ˊ} sultat$	Multiplier toutes les probabilités du chemin
$P (\overset{e}{ˊ} v \overset{e}{ˊ} nement) = \sum P (chemins favorables)$	= $R \overset{e}{ˋ} gle de la somme$	Additionner les probabilités des chemins réalisant l'événement
$P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n})$	= $P (A_{1}) \times P_{A_{1}} (A_{2}) \times \dots$	Expérience à $n$ étapes successives
$P (succ \overset{e}{ˋ} s) + P (\overset{e}{ˊ} chec) = 1$	= $Contr \overset{o}{ˆ} le$	À chaque nœud, vérifier la cohérence

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