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3ACTC1BAC2BAC

Identités remarquables et factorisations

Les identités remarquables sont la base de toute la factorisation et du calcul algébrique. À maîtriser absolument dès la 3ème année collège.

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Identités du second degré

$(a + b)^{2}$	= $a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$	= $a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b)$	= $a^{2} - b^{2}$
$a^{2} + b^{2}$	= $(a + b)^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} + 2 ab$

Identités du troisième degré

$(a + b)^{3}$	= $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3}$	= $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
$a^{3} + b^{3}$	= $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
$a^{3} - b^{3}$	= $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Généralisation : différence et somme

$a^{n} - b^{n}$	= $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$	pour tout $n \geq 1$
$a^{n} + b^{n}$	= $(a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$	pour $n$ impair

Binôme de Newton

$(a + b)^{n}$	= $k = 0 \sum n (k n) a^{n - k} b^{k}$	avec $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
$(a + b)^{4}$	= $a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
$(a + b)^{5}$	= $a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

Application : forme canonique

a x^{2} + b x + c

=

a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

avec

Δ = b^{2} - 4 a c

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