Identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules essentielles pour développer et factoriser rapidement des expressions algébriques. Il existe trois formules principales : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $(a+b)(a-b)$, chacune ayant sa réciproque pour la factorisation.

Développement - Identité remarquable (a+b)²

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$	= $Carr \overset{e}{ˊ} du 1er + double produit + carr \overset{e}{ˊ} du 2 \overset{e}{ˋ} me$	Formule fondamentale : le carré de la somme
$(x + 3)^{2}$	= $x^{2} + 6 x + 9$	Exemple avec $a = x$ et $b = 3$
$(2 x + 5)^{2}$	= $4 x^{2} + 20 x + 25$	Exemple avec $a = 2 x$ et $b = 5$
$(x + 1)^{2}$	= $x^{2} + 2 x + 1$	Application directe
$(3 x + 2)^{2}$	= $9 x^{2} + 12 x + 4$	Attention : $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$
$(x + 7)^{2}$	= $x^{2} + 14 x + 49$	Le double produit : $2 \times x \times 7 = 14 x$

Développement - Identité remarquable (a-b)²

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$	= $Carr \overset{e}{ˊ} du 1er - double produit + carr \overset{e}{ˊ} du 2 \overset{e}{ˋ} me$	Formule fondamentale : le carré de la différence
$(x - 4)^{2}$	= $x^{2} - 8 x + 16$	Exemple avec $a = x$ et $b = 4$
$(3 x - 1)^{2}$	= $9 x^{2} - 6 x + 1$	Exemple avec $a = 3 x$ et $b = 1$
$(5 - x)^{2}$	= $25 - 10 x + x^{2}$	On peut inverser : $a = 5$ et $b = x$
$(2 x - 7)^{2}$	= $4 x^{2} - 28 x + 49$	Double produit : $2 \times 2 x \times 7 = 28 x$
$(x - 0, 5)^{2}$	= $x^{2} - x + 0, 25$	Fonctionne aussi avec des décimaux
$(x - 6)^{2}$	= $x^{2} - 12 x + 36$	PIÈGE : ne pas oublier le signe $+$ devant $b^{2}$

Développement - Identité remarquable (a+b)(a-b)

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$	= $Carr \overset{e}{ˊ} du 1er - carr \overset{e}{ˊ} du 2 \overset{e}{ˋ} me$	Formule fondamentale : différence de deux carrés
$(x + 5) (x - 5)$	= $x^{2} - 25$	Exemple avec $a = x$ et $b = 5$
$(3 x + 2) (3 x - 2)$	= $9 x^{2} - 4$	Exemple avec $a = 3 x$ et $b = 2$
$(7 + x) (7 - x)$	= $49 - x^{2}$	L'ordre n'a pas d'importance
$(2 x + 9) (2 x - 9)$	= $4 x^{2} - 81$	Très rapide : pas de terme en $x$
$(10 + 3 x) (10 - 3 x)$	= $100 - 9 x^{2}$	Application avec $a = 10$ et $b = 3 x$
$(x + 1) (x - 1)$	= $x^{2} - 1$	Le cas le plus simple

Factorisation - Reconnaître a² + 2ab + b²

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$	= $Factorisation en carr \overset{e}{ˊ} parfait$	Réciproque de la 1ère identité remarquable
$x^{2} + 10 x + 25$	= $(x + 5)^{2}$	Reconnaître : $x^{2}$ , $2 \times x \times 5$ , $5^{2}$
$4 x^{2} + 12 x + 9$	= $(2 x + 3)^{2}$	$(2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2}$
$x^{2} + 6 x + 9$	= $(x + 3)^{2}$	Vérifier que $6 x = 2 \times x \times 3$
$9 x^{2} + 30 x + 25$	= $(3 x + 5)^{2}$	$(3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 5 + 5^{2}$
$x^{2} + 2 x + 1$	= $(x + 1)^{2}$	Le plus simple avec $b = 1$
$16 x^{2} + 8 x + 1$	= $(4 x + 1)^{2}$	$(4 x)^{2} + 2 \times 4 x \times 1 + 1^{2}$
$x^{2} + 4 x + 4$	= $(x + 2)^{2}$	MÉTHODE : chercher deux nombres dont le carré donne les extrêmes

Factorisation - Reconnaître a² - 2ab + b²

$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$	= $Factorisation en carr \overset{e}{ˊ} parfait$	Réciproque de la 2ème identité remarquable
$x^{2} - 8 x + 16$	= $(x - 4)^{2}$	$x^{2} - 2 \times x \times 4 + 4^{2}$
$4 x^{2} - 20 x + 25$	= $(2 x - 5)^{2}$	$(2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 5 + 5^{2}$
$x^{2} - 12 x + 36$	= $(x - 6)^{2}$	Vérifier : $12 x = 2 \times x \times 6$
$9 x^{2} - 6 x + 1$	= $(3 x - 1)^{2}$	$(3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 1 + 1^{2}$
$25 x^{2} - 10 x + 1$	= $(5 x - 1)^{2}$	$(5 x)^{2} - 2 \times 5 x \times 1 + 1^{2}$
$x^{2} - 14 x + 49$	= $(x - 7)^{2}$	Chercher $b$ tel que $b^{2} = 49$ donc $b = 7$
$x^{2} - 2 x + 1$	= $(x - 1)^{2}$	PIÈGE : le résultat final a un signe $-$

Factorisation - Reconnaître a² - b² (différence de deux carrés)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$	= $Produit de la somme et de la diff \overset{e}{ˊ} rence$	Réciproque de la 3ème identité remarquable
$x^{2} - 49$	= $(x + 7) (x - 7)$	$x^{2} - 7^{2}$ donc $a = x$ et $b = 7$
$9 x^{2} - 16$	= $(3 x + 4) (3 x - 4)$	$(3 x)^{2} - 4^{2}$
$25 - x^{2}$	= $(5 + x) (5 - x)$	$5^{2} - x^{2}$ , attention à l'ordre
$4 x^{2} - 81$	= $(2 x + 9) (2 x - 9)$	$(2 x)^{2} - 9^{2}$
$x^{2} - 1$	= $(x + 1) (x - 1)$	Le plus simple : $x^{2} - 1^{2}$
$100 x^{2} - 121$	= $(10 x + 11) (10 x - 11)$	$(10 x)^{2} - 1 1^{2}$
$36 - 25 x^{2}$	= $(6 + 5 x) (6 - 5 x)$	$6^{2} - (5 x)^{2}$

Pièges fréquents et erreurs à éviter

(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}

Il manque 2 ab

PIÈGE N°1 : oubli du double produit

2 ab

📐 Tu veux t'entraîner sur ces formules ?

Découvre nos exercices corrigés sur identités remarquables.

Voir les cours →