½

5ème

Fractions : toutes les formules

Les fractions permettent de représenter des nombres rationnels sous la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur (avec $b \neq 0$).

Addition et soustraction de fractions

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c}$	= $\frac{a + b}{c}$	même dénominateur
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$	= $\frac{a - b}{c}$	même dénominateur
$\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$	= $\frac{3}{5}$	exemple
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$	= $\frac{a \times d + b \times c}{b \times d}$	dénominateurs différents
$\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$	= $\frac{a \times d - b \times c}{b \times d}$	dénominateurs différents
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$	= $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$	exemple avec dénominateurs différents
$\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$	= $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$	exemple

Multiplication de fractions

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$	= $\frac{a \times c}{b \times d}$	on multiplie numérateurs et dénominateurs
$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}$	= $\frac{10}{21}$	exemple
$\frac{a}{b} \times c$	= $\frac{a \times c}{b}$	multiplication par un entier
$\frac{3}{5} \times 4$	= $\frac{12}{5}$	exemple
$\frac{a}{b} \times \frac{b}{a}$	= $1$	fractions inverses
$\frac{4}{9} \times \frac{3}{2}$	= $\frac{4 \times 3}{9 \times 2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$	simplification pendant le calcul

Division de fractions

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$	= $\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$	diviser = multiplier par l'inverse
$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$	= $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$	exemple
$\frac{a}{b} \div c$	= $\frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{b \times c}$	division par un entier
$\frac{7}{3} \div 2$	= $\frac{7}{3 \times 2} = \frac{7}{6}$	exemple
$a \div \frac{b}{c}$	= $a \times \frac{c}{b} = \frac{a \times c}{b}$	entier divisé par une fraction
$5 \div \frac{2}{3}$	= $5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$	exemple

Simplification de fractions

$\frac{a \times k}{b \times k}$	= $\frac{a}{b}$	simplification par $k$ (avec $k \neq = 0$ )
$\frac{12}{18}$	= $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$	simplification par 6
$\frac{15}{25}$	= $\frac{3}{5}$	simplification par 5
$\frac{24}{36}$	= $\frac{2}{3}$	simplification par PGCD(24,36) = 12
$\frac{a}{b}$	= $forme simplifi \overset{e}{ˊ} e$	fraction irréductible si PGCD $(a, b) = 1$
$\frac{14}{21}$	= $\frac{2}{3}$	simplification par 7
$\frac{100}{150}$	= $\frac{2}{3}$	simplification par 50

Comparaison de fractions

$\frac{a}{c} et \frac{b}{c}$	= $comparer a et b$	même dénominateur positif
$\frac{5}{7} et \frac{3}{7}$	= $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$	exemple : $5 > 3$
$\frac{a}{b} et \frac{c}{b}$	= $plus grand d \overset{e}{ˊ} nominateur = plus petite fraction$	même numérateur positif
$\frac{3}{4} et \frac{3}{5}$	= $\frac{3}{4} > \frac{3}{5}$	exemple : $4 < 5$
$\frac{a}{b} et \frac{c}{d}$	= $r \overset{e}{ˊ} duire au m \overset{e}{ˆ} me d \overset{e}{ˊ} nominateur$	dénominateurs différents
$\frac{2}{3} et \frac{3}{4}$	= $\frac{8}{12} < \frac{9}{12} donc \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$	dénominateur commun : 12
$\frac{5}{6} et \frac{7}{9}$	= $\frac{15}{18} < \frac{14}{18} donc \frac{5}{6} > \frac{7}{9}$	dénominateur commun : 18
$\frac{a}{b} et 1$	= $\frac{a}{b} < 1 si a < b$	comparaison avec l'unité

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