Fonctions affines & linéaires

Les fonctions affines $f(x) = ax + b$ et linéaires $f(x) = ax$ sont des fonctions essentielles en 3ème, représentées par des droites dont les caractéristiques dépendent des coefficients $a$ (coefficient directeur) et $b$ (ordonnée à l'origine).

Définitions et vocabulaire

$f (x) = a x + b$	= $a : coefficient directeur, b : ordonn \overset{e}{ˊ} e \overset{a}{ˋ} l’origine$	Fonction affine générale avec $a \neq = 0$
$f (x) = a x$	= $La droite passe par l’origine O (0; 0)$	Fonction linéaire (cas particulier avec $b = 0$ )
$f (x) = b$	= $Droite horizontale d’ \overset{e}{ˊ} quation y = b$	Fonction constante (cas où $a = 0$ )
$y = a x + b$	= $Tout point M (x; y) de la droite v \overset{e}{ˊ} rifie cette \overset{e}{ˊ} quation$	Équation de la droite représentative
$f (0) = a \times 0 + b = b$	= $Point (0; b) sur l’axe des ordonn \overset{e}{ˊ} es$	Image de 0 par la fonction affine
$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$	= $Formule fondamentale de la pente$	Calcul du coefficient directeur avec deux points $A$ et $B$

Coefficient directeur (pente de la droite)

$a > 0$	= $La droite "monte" (croissante)$	Coefficient directeur positif
$a < 0$	= $La droite "descend" (d \overset{e}{ˊ} croissante)$	Coefficient directeur négatif
$a = 0$	= $Droite horizontale (fonction constante)$	Coefficient directeur nul
$a = 1$	= $Bissectrice du 1er et 3 \overset{e}{ˋ} me quadrant$	Pente à 45° (montante)
$a = - 1$	= $Bissectrice du 2 \overset{e}{ˋ} me et 4 \overset{e}{ˋ} me quadrant$	Pente à 45° (descendante)

Sens de variation

$Si a > 0 alors f croissante$	= $La fonction augmente$	Pour tout $x_{1} < x_{2}$ , on a $f (x_{1}) < f (x_{2})$
$Si a < 0 alors f d \overset{e}{ˊ} croissante$	= $La fonction diminue$	Pour tout $x_{1} < x_{2}$ , on a $f (x_{1}) > f (x_{2})$
$Si a = 0 alors f constante$	= $La fonction ne varie pas$	Pour tout $x$ , $f (x) = b$
$Δ y = a \times Δ x$	= $Accroissement proportionnel \overset{a}{ˋ} a$	Variation de $y$ quand $x$ varie de $Δ x$
$x augmente de 1 \Rightarrow y augmente de a$	= $D \overset{e}{ˊ} placement vertical pour 1 unit \overset{e}{ˊ} horizontale$	Interprétation graphique du coefficient $a$

Représentation graphique et construction

$(0; b)$	= $Point d’intersection avec l’axe des ordonn \overset{e}{ˊ} es$	Premier point : ordonnée à l'origine
$(- \frac{b}{a}; 0)$	= $Point d’intersection avec l’axe des abscisses$	Abscisse à l'origine (si $a \neq = 0$ )
$Partir de (0; b), se d \overset{e}{ˊ} placer de + 1 en x$	= $Se d \overset{e}{ˊ} placer de + a en y$	Méthode de construction
$Partir de (0; b), se d \overset{e}{ˊ} placer de - 1 en x$	= $Se d \overset{e}{ˊ} placer de - a en y$	Construction dans l'autre sens
$f (1) = a + b$	= $Point (1; a + b) sur la droite$	Image de 1
$Deux points suffisent$	= $Tracer la droite passant par ces points$	Une droite est déterminée par deux points
$Droites parall \overset{e}{ˋ} les \Leftrightarrow m \overset{e}{ˆ} me a$	= $M \overset{e}{ˆ} me coefficient directeur$	Droites $y = a x + b_{1}$ et $y = a x + b_{2}$

Détermination d'une fonction affine

$Conna \overset{ı}{ˆ} tre a et b$	= $f (x) = a x + b$	Écriture directe
$Conna \overset{ı}{ˆ} tre deux points A (x_{A}; y_{A}) et B (x_{B}; y_{B})$	= $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} puis b = y_{A} - a x_{A}$	Système à résoudre
$Conna \overset{ı}{ˆ} tre a et un point A (x_{A}; y_{A})$	= $b = y_{A} - a x_{A}$	Déterminer $b$
${y_{A} = a x_{A} + b y_{B} = a x_{B} + b$	= $R \overset{e}{ˊ} soudre pour trouver a et b$	Système de deux équations à deux inconnues
$Droite passant par O et A (x_{A}; y_{A})$	= $a = \frac{y _{A}}{x _{A}}, donc f (x) = \frac{y _{A}}{x _{A}} \times x$	Fonction linéaire ( $b = 0$ )
$Droite parall \overset{e}{ˋ} le \overset{a}{ˋ} y = a_{0} x + b_{0}$	= $Trouver b avec un point donn \overset{e}{ˊ}$	Même coefficient directeur $a = a_{0}$

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