4ème3ème

Équations du 1er degré : méthodes

Une équation du premier degré est une égalité contenant une inconnue (souvent $x$) à la puissance 1. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Équations de la forme ax + b = 0

$a x + b = 0$	= $x = - \frac{b}{a}$	Forme générale avec $a \neq = 0$
$3 x + 6 = 0$	= $3 x = - 6$	On soustrait 6 de chaque côté
$3 x = - 6$	= $x = - 2$	On divise par 3
$- 5 x + 15 = 0$	= $x = 3$	On soustrait 15 puis on divise par $- 5$
$7 x - 21 = 0$	= $x = 3$	On ajoute 21 puis on divise par 7
$\frac{x}{4} + 2 = 0$	= $x = - 8$	On multiplie d'abord par 4

Équations de la forme ax + b = cx + d

$a x + b = c x + d$	= $a x - c x = d - b$	On regroupe les termes en $x$ d'un côté
$(a - c) x = d - b$	= $x = \frac{d - b}{a - c}$	On factorise et on divise
$5 x + 3 = 2 x + 9$	= $3 x + 3 = 9$	On soustrait $2 x$ de chaque côté
$3 x + 3 = 9$	= $x = 2$	On soustrait 3 puis on divise par 3
$7 x - 4 = 3 x + 12$	= $x = 4$	On regroupe : $7 x - 3 x = 12 + 4$
$- 2 x + 5 = 4 x - 7$	= $x = 2$	On obtient $- 6 x = - 12$
$6 x + 1 = 6 x - 3$	= $Pas de solution$	On obtient $0 x = - 4$ : impossible

Règles de transformation des équations

$a = b$	= $a + c = b + c$	On peut ajouter un même nombre
$a = b$	= $a - c = b - c$	On peut soustraire un même nombre
$a = b$	= $a \times c = b \times c$	On peut multiplier par un même nombre $c \neq = 0$
$a = b$	= $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$	On peut diviser par un même nombre $c \neq = 0$
$3 x = 12$	= $x = 4$	On divise les deux membres par 3
$x - 7 = 2$	= $x = 9$	On ajoute 7 aux deux membres

Équations avec parenthèses et fractions

$2 (x + 3) = 10$	= $2 x + 6 = 10$	On développe d'abord
$2 x + 6 = 10$	= $x = 2$	Puis on résout classiquement
$3 (2 x - 1) = 5 (x + 2)$	= $6 x - 3 = 5 x + 10$	On développe les deux côtés
$6 x - 3 = 5 x + 10$	= $x = 13$	On regroupe les termes
$\frac{x}{3} = 5$	= $x = 15$	On multiplie par 3
$\frac{2 x + 1}{5} = 3$	= $x = 7$	On multiplie par 5 puis on résout
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$	= $x = 6$	On réduit au même dénominateur (6)

Mise en équation de problèmes

$P \overset{e}{ˊ} rim \overset{e}{ˋ} tre rectangle$	= $2 L + 2 ℓ = P$	Longueur $L$ , largeur $ℓ$
$Probl \overset{e}{ˋ} me d’ \overset{a}{ˆ} ge$	= $x + (x + 5) = 35$	Jean a $x$ ans, Paul a $x + 5$ ans
$Prix avec r \overset{e}{ˊ} duction$	= $p - 0, 2 p = prix final$	Prix initial $p$ , réduction de 20%
$Partage in \overset{e}{ˊ} gal$	= $x + 2 x = 90$	Marie a $x$ €, Luc a $2 x$ €
$Nombres cons \overset{e}{ˊ} cutifs$	= $n + (n + 1) + (n + 2) = 48$	$n$ , $n + 1$ , $n + 2$
$Distance parcourue$	= $v \times t = d$	Vitesse $v$ , temps $t$

Vérification de la solution

$Solution trouv \overset{e}{ˊ} e : x = 3$	= $On remplace x par 3$	Équation : $2 x + 5 = 11$
$2 \times 3 + 5 = 11$	= $6 + 5 = 11$	Membre de gauche
$11 = 11$	= $x = 3 est la solution$	Égalité vérifiée ✓
$Solution trouv \overset{e}{ˊ} e : x = - 2$	= $V \overset{e}{ˊ} rification$	Équation : $5 x - 3 = 2 x - 9$
$5 \times (- 2) - 3 = - 13$	= $2 \times (- 2) - 9 = - 13$	Membre de gauche
$- 13 = - 13$	= $x = - 2 est bien solution$	Égalité vérifiée ✓
$Toujours v \overset{e}{ˊ} rifier !$	= $M \overset{e}{ˊ} thode indispensable$	Permet de détecter les erreurs de calcul

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