Fiche de révision — Tronc Commun Sciences

Logique, ensembles, fonctions, suites, trigonométrie, dénombrement · lumaths.com

∞ Ensembles de nombres 📄 mémento →

Inclusions

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Intervalles

[a,b] fermé · ]a,b[ ouvert · [a,b[ semi-ouvert

Valeur absolue

|x| = x si x≥0, |x| = −x si x<0

Propriétés |.|

|a×b| = |a|×|b| · |a+b| ≤ |a|+|b|

Pièges à éviter

✗ $2$ ∈ ℝ mais $2$ ∉ ℚ (nombre irrationnel)

🧠 Logique mathématique 📄 mémento →

Implication

P ⇒ Q : si P est vraie, alors Q est vraie

Contraposée (équivalente)

Non Q ⇒ Non P

Réciproque (pas forcément vraie)

Q ⇒ P

Négation de ∀

¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x)

Négation de ∃

¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x)

Récurrence

1) Initialisation (n=0 ou n=1) · 2) Hérédité (P(n)→P(n+1))

Pièges à éviter

✗ P ⇒ Q est vraie quand P est fausse (peu importe Q) !
✗ La réciproque n'est pas forcément vraie

f(x) Fonctions — Généralités 📄 mémento →

Parité

Paire : f(−x) = f(x) · Impaire : f(−x) = −f(x)

Monotonie

Croissante : x₁

   Image/antécédent 
  f(a) = b → b est l'image de a par f · a est un antécédent de b

      Astuce Courbe d'une fonction paire = symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

    📊  Statistiques 📄 mémento → 
      Moyenne 
   $\overline{x}$  = (Σ  $n_{i}$ × $x_{i}$ ) / Σ $n_{i}$   
 
 
   Médiane 
  Valeur qui partage la série en 2 moitiés égales  
 
 
   Étendue 
  max − min  
 
 
   Variance 
  V = (Σ  $n_{i}$ ( $x_{i}$ − $\overline{x}$ )²) / n  
 
 
   Écart-type 
  σ =  $V$   
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Médiane ≠ Moyenne (sauf distribution symétrique)

    ⊂  Opérations sur les ensembles 📄 mémento → 
      Union 
  A ∪ B = {x | x∈A ou x∈B} Ex : {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3}
 
 
 
   Intersection 
  A ∩ B = {x | x∈A et x∈B} Ex : {1,2} ∩ {2,3} = {2}
 
 
 
   Complémentaire 
  Ā = {x∈E | x∉A}  
 
 
   Différence 
  A \ B = {x∈A | x∉B} = A ∩  $\overline{B}$   
 
 
   Lois de De Morgan 
  (A∪B)̄ = Ā∩ $\overline{B}$    ·   (A∩B)̄ = Ā∪ $\overline{B}$   
 
 
   Distributivité 
  A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)  
 
 
   Différence symétrique 
  AΔB = (A\B) ∪ (B\A) = (A∪B) \ (A∩B)  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ A ∩ B = ∅ ne signifie pas A = ∅ ou B = ∅ ! 
 ✗ (A∪B)̄ = Ā∩ $\overline{B}$  (De Morgan) : l'union devient intersection après complémentaire 
 ✗ A ⊂ B ≠ A ∈ B (inclusion vs appartenance) 
 
 
    Astuce Diagrammes de Venn : toujours dessiner pour visualiser les opérations sur les ensembles

    ⊢  Logique & Connecteurs 📄 mémento → 
      Négation ¬ 
  ¬P est vraie ⇔ P est fausse  ·  ¬(¬P) = P  
 
 
   Conjonction ∧ 
  "P et Q" vraie ⇔ P vraie ET Q vraie  
 
 
   Disjonction ∨ 
  "P ou Q" vraie ⇔ P vraie OU Q vraie (ou les deux — inclusif !)  
 
 
   Implication ⇒ 
  P ⇒ Q fausse UNIQUEMENT si P vraie et Q fausse  ·  Si P fausse → implication toujours vraie  
 
 
   Équivalence ⇔ 
  P ⇔ Q vraie ⇔ P et Q même valeur de vérité  ·  double implication  
 
 
   Contraposée 
  P ⇒ Q  ≡  ¬Q ⇒ ¬P  (strictement équivalent)  
 
 
   Lois de De Morgan 
  ¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q   ·   ¬(P∨Q) = ¬P∧¬Q  
 
 
   Quantif. universel 
  ∀x∈E, P(x) : P(x) vraie pour TOUT x de E  ·  Nier : ∃x∈E, ¬P(x)  
 
 
   Quantif. existentiel 
  ∃x∈E, P(x) : il existe AU MOINS un x  ·  ∃!x : unique  ·  Nier : ∀x∈E, ¬P(x)  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Le "ou" mathématique est INCLUSIF — "P ou Q" vraie même si P et Q sont toutes deux vraies 
 ✗ "ou exclusif" (XOR) se dit "ou bien" en maths 
 ✗ P ⇒ Q avec P fausse est TOUJOURS vraie (ex : "1=0 ⇒ 3²=9" est vraie !) 
 ✗ Réciproque (Q⇒P) n'est PAS équivalente à (P⇒Q) — seule la contraposée l'est 
 ✗ Nier ∀x : il suffit d'un contre-exemple · Nier ∃x : il faut montrer ∀x,¬P(x) 
 
 
    Astuce P⇒Q ≡ ¬Q⇒¬P (contraposée). Pour nier un quantificateur : ¬(∀x,P) = ∃x,¬P et ¬(∃x,P) = ∀x,¬P

    🔍  Méthodes de démonstration 📄 mémento → 
      Directe 
  Supposer P vraie → enchaîner les étapes → conclure Q  
 
 
   Contraposée 
  Prouver (¬Q ⇒ ¬P) plutôt que (P ⇒ Q) — strictement équivalent  
 
 
   Par l'absurde 
  Supposer ¬Q → montrer contradiction → Q vraie  
 
 
   Récurrence 
  ① Init : vérifier P(n₀) · ② Hérédité : P(n) ⇒ P(n+1)  
 
 
   Contre-exemple 
  Un seul contre-exemple réfute "∀x, P(x)"  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Récurrence : l'hérédité sans initialisation ne prouve rien 
 ✗ La réciproque P⇐Q n'est pas équivalente à P⇒Q 
 ✗ Réfuter ∃x,P(x) exige de montrer ∀x,¬P(x) — un seul cas ne suffit pas 
 
 
    Astuce La contraposée (¬Q ⇒ ¬P) est ÉQUIVALENTE à (P ⇒ Q) — utilise-la quand P est difficile à exploiter

    ∑  Suites numériques (TC) 📄 mémento → 
      Suite arithmétique 
   $u_{n} = u_{0} + n \times r \cdot S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$  Ex : r=3, u₀=1 → u₁₀=31
 
 
 
   Suite géométrique 
   $u_{n} = u_{0} \times q^{n} \cdot S_{n} = \frac{u _{0} ( q ^{n + 1} - 1 )}{q - 1}$  Ex : q=2, u₀=1 → u₅=32
 
 
 
   Terme général 
  Chercher si  $u_{n + 1} - u_{n} =$  cte (arith.) ou  $u_{n + 1} / u_{n} =$  cte (géom.)  
 
 
   Sens de variation 
  Arith. : r>0 → croissante · Géom. (u₀>0) : q>1 → croissante, 0  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ La somme  $S_{n}$  = u₀+u₁+...+ $u_{n}$  a (n+1) termes, pas n 
 ✗ Suite géométrique avec q<0 : les termes alternent de signe 
 
 
    Astuce Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1}$=f($u_n$) : étudier le signe de $u_{n+1}$−$u_n$ pour la monotonie

    🎲  Dénombrement 📄 mémento → 
      Principe multiplicatif 
  p choix puis q choix → p×q possibilités au total Ex : 3 chemises × 4 pantalons = 12 tenues
 
 
 
   Arrangements (ordre compte) 
   $A_{n}^{p}$  = n! / (n−p)! Ex : A₅² = 5×4 = 20 (choisir 2 parmi 5 en ordre)
 
 
 
   Combinaisons (ordre ne compte pas) 
   $C_{n}^{p}$  = n! / (p!(n−p)!) Ex : C₅² = 10
 
 
 
   Factorielle 
  n! = n×(n−1)×…×1  ·  0! = 1  ·  1! = 1  
 
 
   Propriétés 
   $C_{n}$ ⁰ = 1 ·  $C_{n}$ ⁿ = 1 ·  $C_{n}^{p}$  =  $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$  ·  $C_{n}^{p}$  +  $C_{n}^{p}$ ⁺¹ =  $C_{n + 1}$  $^{p}$ ⁺¹  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Arrangements : l'ordre COMPTE (ABC ≠ BAC) — Combinaisons : l'ordre ne compte pas 
 ✗  $C_{n}^{p}$  =  $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$  : propriété de symétrie très utile pour simplifier 
 
 
    Astuce Triangle de Pascal : ligne n, position p donne $C_n^{p}$. Chaque case = somme des deux au-dessus.

    📍  Repère et droites dans le plan 📄 mémento → 
      Distance entre deux points 
   $A B = (x_{B} - x_{a})^{2} + (y_{B} - y_{a})^{2}$   
 
 
   Milieu de [AB] 
   $I = (\frac{x _{a} + x _{B}}{2}; \frac{y _{a} + y _{B}}{2})$   
 
 
   Équation de droite 
   $y = a x + b$   ou   $a x + b y + c = 0$  (forme générale)  
 
 
   Coefficient directeur 
   $a = \frac{y _{B} - y _{a}}{x _{B} - x _{a}}$   si   $x_{B} \neq = x_{a}$   
 
 
   Droites parallèles 
   $a_{1} = a_{2}$  et  $b_{1} \neq = b_{2}$   
 
 
   Droites perpendiculaires 
   $a_{1} \times a_{2} = - 1$   
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Droite verticale : équation x = k (pas de coefficient directeur défini) 
 ✗ Intersection de 2 droites : résoudre le système d'équations

    P(x)  Polynômes & Factorisation 📄 mémento → 
      Identités remarquables 
   $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} \cdot (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} \cdot (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$   
 
 
   Racine d'un polynôme 
  P(a)=0 ⇔ (x−a) divise P(x)  
 
 
   Polynôme du 2nd degré 
  P(x)=ax²+bx+c · Δ=b²−4ac · x₁,₂=(−b± $Δ$ )/(2a)  
 
 
   Factorisation 
  Si Δ>0 : P(x)=a(x−x₁)(x−x₂) · Si Δ=0 : P(x)=a(x−x₀)² · Si Δ<0 : pas de racine réelle  
 
 
   Signe de P(x) 
  Si Δ<0 : P(x) a le signe de a. Si Δ≥0 : P(x) négatif entre les racines (si a>0)  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Δ = b² − 4ac (et non b² + 4ac) 
 ✗ Si Δ < 0 → pas de racine réelle → P(x) garde un signe constant 
 
 
    Astuce Somme et produit des racines : x₁+x₂ = −b/a  et  x₁×x₂ = c/a

    🔄  Trigonométrie (cercle trigonométrique) 📄 mémento → 
      Radian 
  1 radian = 180°/π  ·  180° = π rad  ·  360° = 2π rad Ex : 90° = π/2 · 60° = π/3 · 45° = π/4 · 30° = π/6
 
 
 
   Cosinus et sinus sur le cercle 
  Point M(cosθ ; sinθ) sur le cercle unité (rayon 1)  
 
 
   Relation fondamentale 
  cos²θ + sin²θ = 1  (pour tout θ ∈ ℝ)  
 
 
   Angles associés 
  cos(π−θ) = −cosθ · sin(π−θ) = sinθ · cos(−θ) = cosθ · sin(−θ) = −sinθ  
 
 
    cos(π+θ) = −cosθ · sin(π+θ) = −sinθ · cos(π/2−θ) = sinθ · sin(π/2−θ) = cosθ  
 
 
   Valeurs exactes 
  cos 0=1 · cos π/6= $3$ /2 · cos π/4= $2$ /2 · cos π/3=1/2 · cos π/2=0 · cos π=−1  
 
 
   Tangente 
  tan θ = sin θ / cos θ  (définie si cos θ ≠ 0, i.e. θ ≠ π/2 + kπ)  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ cos et sin prennent des valeurs dans [−1 ; 1] — jamais > 1 ou < −1 
 ✗ Ne pas confondre angle en degrés et en radians dans la calculatrice 
 ✗ tan non défini en π/2 + kπ — toujours vérifier 
 
 
    Astuce Cercle unité : coordonnées du point = (cosθ ; sinθ). Pour tout k∈ℤ : cos(θ+2kπ) = cosθ · sin(θ+2kπ) = sinθ

    ·  Produit scalaire dans le plan 📄 mémento → 
      Définition (angle) 
   $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = | $u^{\to}$ |·| $v^{\to}$ |·cos(θ)  où θ = angle entre  $u^{\to}$  et  $v^{\to}$   
 
 
   En coordonnées 
   $u^{\to}$ (x₁;y₁) ·  $v^{\to}$ (x₂;y₂) = x₁x₂ + y₁y₂  
 
 
   Norme 
  | $u^{\to}$ |² =  $u^{\to}$ · $u^{\to}$  = x² + y²  →  | $u^{\to}$ | =  $x^{2} + y^{2}$   
 
 
   Orthogonalité 
   $u^{\to}$  ⊥  $v^{\to}$   ⇔   $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = 0  ⇔  x₁x₂ + y₁y₂ = 0  
 
 
   Formule de polarisation 
   $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = ½(| $u^{\to}$ + $v^{\to}$ |² − | $u^{\to}$ |² − | $v^{\to}$ |²)  ou  = ½(| $u^{\to}$ |²+| $v^{\to}$ |²−| $u^{\to}$ − $v^{\to}$ |²)  
 
 
   Loi d'Al-Kashi 
  BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â)  →  généralise Pythagore  
 
 
 
   
Pièges à éviter
   ✗ Produit scalaire = un NOMBRE (scalaire), pas un vecteur 
 ✗  $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = 0 ⇔ vecteurs orthogonaux — ou l'un des vecteurs est nul 
 ✗ Al-Kashi : l'angle Â est opposé au côté BC (le côté cherché ou connu) 
 
 
    Astuce Al-Kashi avec Â = 90° redonne Pythagore : BC² = AB² + AC²

  
Fiche créée par Lumaths · Plateforme de maths pour les élèves marocains
 
lumaths.com · TC · Bonne chance !

Fiche de révision — Tronc Commun Sciences

∞ Ensembles de nombres 📄 mémento →

🧠 Logique mathématique 📄 mémento →

f(x) Fonctions — Généralités 📄 mémento →

📊 Statistiques 📄 mémento →

⊂ Opérations sur les ensembles 📄 mémento →

⊢ Logique & Connecteurs 📄 mémento →

🔍 Méthodes de démonstration 📄 mémento →

∑ Suites numériques (TC) 📄 mémento →

🎲 Dénombrement 📄 mémento →

📍 Repère et droites dans le plan 📄 mémento →

P(x) Polynômes & Factorisation 📄 mémento →

🔄 Trigonométrie (cercle trigonométrique) 📄 mémento →

· Produit scalaire dans le plan 📄 mémento →

Installe Lumaths sur ton téléphone