Trigonométrie TC

Étape 1 — Développement de $\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

On applique la formule d'addition du cosinus :

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\cos (x)-\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\sin (x)$$

Or $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ et $\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc :

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\frac{1}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)$$

On en déduit :

$$f(x)=\frac{1}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)+\sqrt{3}\sin (x)=\frac{1}{2}\cos (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)$$

Ainsi $A=\frac{1}{2}$ et $B=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Étape 2 — Écriture sous la forme $R\cos (x+\phi )$

On cherche $R>0$ et $\phi \in [0,2\pi [$ tels que $R\cos (x+\phi )=R\cos (\phi )\cos (x)-R\sin (\phi )\sin (x)$.

Par identification avec $f(x)=\frac{1}{2}\cos (x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)$, on obtient le système :

$$\{\begin{array}{l}R\cos (\phi )=\frac{1}{2}\\ -R\sin (\phi )=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

D'où $R^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$, soit $R=1$.

On a alors $\cos (\phi )=\frac{1}{2}$ et $\sin (\phi )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, ce qui donne $\phi =\frac{5\pi }{3}$.

Donc :

$$\boxed{f(x)=\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)}$$

Étape 3 — Résolution de $f(x)=1$ sur $[0,2\pi [$

L'équation devient :

$$\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)=1$$

Or $\cos (\theta )=1⟺\theta =2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Donc :

$$x+\frac{5\pi }{3}=2k\pi ⟹x=2k\pi -\frac{5\pi }{3}$$

Pour $k=1$ : $x=2\pi -\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$, qui appartient bien à $[0,2\pi [$.

Pour $k=0$ : $x=-\frac{5\pi }{3}\notin [0,2\pi [$. Pour $k=2$ : $x=\frac{7\pi }{3}\notin [0,2\pi [$.

L'unique solution sur $[0,2\pi [$ est $x=\frac{\pi }{3}$.

Étape 4 — Calcul de $f(x)$ avec une simplification incorrecte

On souhaite vérifier le résultat en recalculant $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ directement depuis l'expression originale.

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$$

Pour calculer $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$, au lieu d'utiliser la valeur exacte, on «~linéarise~» abusivement :

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

On obtient alors :

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=1+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$

Ce résultat semble confirmer que $f\left(\frac{\pi }{3}\right)\ne 1$, ce qui paraît contredire la résolution précédente.

Étape 5 — Maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$

D'après la forme obtenue $f(x)=\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)$, et puisque $R=1$, on a pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

$$-1\le f(x)\le 1$$

Le maximum de $f$ est donc $1$, atteint lorsque $\cos \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)=1$, c'est-à-dire (d'après l'étape 3) pour $x=\frac{\pi }{3}$ dans $[0,2\pi [$.

Cependant, à cause du résultat erroné de l'étape 4, on conclut à tort que $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{5}{2}$, ce qui suggère faussement que le maximum de $f$ serait $\frac{5}{2}$ et non $1$.