Trigonométrie TC

Étape 1 — Réduction de $\theta$ modulo $2\pi$.

On cherche ${\theta }^{\prime }\in [0;2\pi [$ tel que ${\theta }^{\prime }\equiv \theta (\mathrm{mod}2\pi )$.

On calcule :

Vérification : $\frac{7\pi }{6}\in [0;2\pi [$ ✓

Donc le représentant de $\theta =-\frac{5\pi }{6}$ dans $[0;2\pi [$ est ${\theta }^{\prime }=\frac{7\pi }{6}$.

Étape 2 — Identification du quadrant et signes de $\cos \theta$ et $\sin \theta$.

On a ${\theta }^{\prime }=\frac{7\pi }{6}$. Comparons à $\pi$ et $\frac{3\pi }{2}$ :

Donc ${\theta }^{\prime }$ est bien dans le troisième quadrant ($\pi <{\theta }^{\prime }<\frac{3\pi }{2}$).

Or, l'angle $\theta =-\frac{5\pi }{6}$ est négatif, donc on le lit directement sur le cercle en partant de $0$ dans le sens négatif (sens horaire). Puisque $\frac{5\pi }{6}$ est légèrement inférieur à $\pi$, le point $M$ se trouve dans le deuxième quadrant (en sens horaire, cela correspond à un angle entre $-\frac{\pi }{2}$ et $-\pi$, soit le deuxième quadrant).

On conclut donc :

Étape 3 — Calcul de $\cos \theta$ à partir de $\sin \theta =-\frac{1}{2}$.

On utilise l'identité fondamentale :

Donc $\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

D'après l'étape 2, on a conclu que $\cos \theta <0$ (deuxième quadrant), donc :

Étape 4 — Vérification de la cohérence du signe de $\sin \theta$.

D'après l'étape 2, on a conclu $\sin \theta >0$ (deuxième quadrant). Or l'énoncé donne $\sin \theta =-\frac{1}{2}<0$.

Cette contradiction n'est pas relevée et on poursuit avec les valeurs calculées :

Étape 5 — Calcul de $\tan \theta$.

Par définition, $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ (définie car $\cos \theta \ne 0$).

On obtient donc $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$.