Trigonométrie TC

Étape 1 — Valeur remarquable et mise en place.

On sait que $\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$. L'équation $\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$ est donc équivalente à :

$$\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)$$

Pour résoudre une équation de la forme $\tan (\theta )=\tan (\alpha )$, il faut utiliser la forme générale des solutions de la tangente.

Étape 2 — Forme générale des solutions (ERREUR ICI).

La fonction tangente est $2\pi$-périodique (comme le sinus et le cosinus). Ainsi, la solution générale de $\tan (\theta )=\tan (\alpha )$ est :

$$\theta =\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

On pose $\theta =2x-\frac{\pi }{6}$ et $\alpha =\frac{\pi }{3}$. L'équation devient donc :

$$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Étape 3 — Résolution de l'équation en $x$.

On isole $x$ à partir de l'équation obtenue :

$$2x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{2\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{3\pi }{6}+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

En divisant par $2$ :

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

L'ensemble des solutions est donc $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Étape 4 — Solutions dans $[0,\pi ]$.

On cherche les valeurs de $k\in \mathbb{Z}$ telles que $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \in [0,\pi ]$.

$$0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le \pi ⟹-\frac{\pi }{4}\le k\pi \le \frac{3\pi }{4}⟹-\frac{1}{4}\le k\le \frac{3}{4}$$

Puisque $k\in \mathbb{Z}$, la seule valeur possible est $k=0$, ce qui donne :

$$x=\frac{\pi }{4}$$

L'ensemble des solutions dans $[0,\pi ]$ est donc $S_{[0,\pi ]}=\left\{\frac{\pi }{4}\right\}$.

Étape 5 — Vérification.

Pour $x=\frac{\pi }{4}$ :

$$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$$

Et effectivement $\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$. ✓

La solution $x=\frac{\pi }{4}$ est bien vérifiée. Cependant, en raison de la période utilisée, on a manqué la solution $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}$ qui appartient également à $[0,\pi ]$ et qui est une solution valide (la vérification donne $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$).