Trigonométrie TC

Étape 1 – Changement de variable et mise en équation.

On pose $t=\cos (x)$. Puisque la fonction cosinus est à valeurs dans $[-1;1]$, la variable $t$ doit vérifier $t\in [-1;1]$.

L'équation $f(x)=0$ devient :

$$2t^2-\sqrt{3}t-2=0$$

C'est bien une équation du second degré en $t$, de coefficients $a=2$, $b=-\sqrt{3}$, $c=-2$.

Étape 2 – Résolution de l'équation du second degré.

On calcule le discriminant :

$$\Delta =b^2-4ac=(-\sqrt{3}{)}^2-4\times 2\times (-2)=3+16=19$$

Comme $\Delta =19>0$, l'équation admet deux racines réelles distinctes :

$$t_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}\text{et}{t}_2=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{19}}{4}$$

On évalue numériquement : $\sqrt{3}\approx 1,732$ et $\sqrt{19}\approx 4,359$.

Donc $t_1\approx \frac{1,732-4,359}{4}\approx \frac{-2,627}{4}\approx -0,657$ et $t_2\approx \frac{1,732+4,359}{4}\approx \frac{6,091}{4}\approx 1,523$.

Étape 3 – Discussion de la validité des racines.

Rappelons que $t$ doit appartenir à $[-1;1]$.

• $t_1\approx -0,657$ : on a $-1\le -0,657\le 1$, donc $t_1$ est valide.
• $t_2\approx 1,523$ : on a $t_2>1$, donc $t_2\notin [-1;1]$.

On conclut que seule la racine $t_1=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}$ est admissible, et l'équation $\cos (x)=t_2$ n'a aucune solution réelle car $|t_2|>1$.

Étape 4 – Résolution trigonométrique pour $t_1$ et $t_2$ (ERREUR ICI).

On pose $\alpha =\arccos \left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{19}}{4}\right)$. Puisque $t_1\approx -0,657$, on obtient $\alpha \approx \arccos (-0,657)\approx 2,285$ rad.

L'équation $\cos (x)=t_1$ donne sur $[0;2\pi ]$ :

$$x_1=\alpha \approx 2,285\text{et}{x}_2=2\pi -\alpha \approx 3,998$$

Pour $t_2\approx 1,523$, bien que $t_2>1$, on pose formellement $\beta =\arccos (1,523)$ et on résout $\cos (x)=t_2$, ce qui donne sur $[0;2\pi ]$ :

$$x_3=\beta \approx \arccos (1,523)\approx 0,000\text{et}{x}_4=2\pi -\beta \approx 6,283$$

On retient donc les quatre valeurs $x_1,x_2,x_3,x_4$.

Étape 5 – Conclusion sur l'ensemble solution.

En rassemblant toutes les valeurs trouvées à l'étape 4, on conclut :

$$S=\left\{\alpha ,2\pi -\alpha ,\beta ,2\pi -\beta \right\}$$

soit numériquement :

$$S\approx \{2,285;3,998;0,000;6,283\}$$

L'équation $f(x)=0$ admet donc quatre solutions sur $[0;2\pi ]$.