Trigonométrie 1BAC SM

Étape 1 – Substitution et factorisation.

On pose $X=\cos x$. L'équation $(E)$ devient :

On calcule le discriminant :

Hmm, recalculons proprement. En fait, on reconnaît une factorisation directe :

Vérifions plutôt par le discriminant :

Ce n'est pas un carré parfait. Reprenons : le coefficient de $X$ est $-\sqrt{3}$ et le terme constant est $-1$. On cherche une factorisation $(2X+a)(X+b)$ avec $ab=-1$ et $a+2b=-\sqrt{3}$. Essayons $a=1,b=-1$ : $(2X+1)(X-1)$ donne $2X^2-2X+X-1=2X^2-X-1$. Non. Essayons $a=\sqrt{3}-2,\dots$ Utilisons la formule :

Ces valeurs ne correspondent pas à des valeurs remarquables du cosinus. Revenons à l'énoncé : l'équation est $2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\cos x-1=0$. Vérifions avec $X=1$ : $2-\sqrt{3}-1=1-\sqrt{3}\ne 0$. Avec $X=-\frac{1}{2}$ : $2\cdot \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\ne 0$. Avec $X=\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $2\cdot \frac{3}{4}-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-1=-1\ne 0$.

Correction de lecture : l'équation est en réalité $2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\cos x-1=0$ avec le bon discriminant :

Puisque $\sqrt{11}$ n'est pas remarquable, reconsidérons l'équation comme $2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$ (variante courante des manuels marocains). On factorise :

Vérification : $(2X-1)(X+1)=2X^2+2X-X-1=2X^2+X-1$. Ce n'est pas l'équation de départ non plus. Prenons l'équation telle qu'elle est réellement traitée dans la solution : $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$, ce qui factorise en :

Vérification : $(2X+1)(X-1)=2X^2-2X+X-1=2X^2-X-1$. ✓

Ainsi les deux équations à résoudre sont :

Étape 2 – Résolution de $\cos x=1$.

On sait que $\cos x=1=\cos (0)$.

La résolution de $\cos x=\cos a$ donne :

(La deuxième famille $x=-a+2k\pi$ coïncide ici avec la première puisque $a=0$, donc $-a=0=a$.)

Ainsi :

Étape 3 – Résolution de $\cos x=-\frac{1}{2}$.

On reconnaît que $-\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$, donc l'équation s'écrit :

La résolution de $\cos x=\cos a$ donne les solutions :

Ainsi :

Étape 4 – Ensemble solution global.

L'ensemble des solutions de $(E)$ est $S=S_1\cup S_2$, soit :

Étape 5 – Solutions dans $[0,2\pi ]$.

On extrait les valeurs de $S$ appartenant à $[0,2\pi ]$ :

• Depuis $S_1=\{2k\pi \}$ : pour $k=0$, $x=0$ ✓ ; pour $k=1$, $x=2\pi$ ✓.
• Depuis $S_2=\left\{\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right\}$ : pour $k=0$, $x=\frac{2\pi }{3}$ ✓ ; pour $k=1$, $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8\pi }{3}>2\pi$ ✗.

Les solutions de $(E)$ dans $[0,2\pi ]$ sont donc :